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Déterminer l'expression de la fonction dérivée de $f$ lorsque:
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$f(x) = 4x^2$;
corrigé
$f'(x) = 4\cdot 2x = 8x$
-
$f(x) = 12 - 3x^2$;
corrigé
$f'(x) = 0 - 3\cdot 2x = -6x$
-
$f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$;
corrigé
$f(x) = \dfrac{u(x)}{v(x)}$ avec $u(x)=x^2-1$, donc $u'(x) = 2x$
et $v(x)=x^2+1$ donc $v'(x)=2x$.
Alors :
\[\begin{aligned}
f'(x) &= \dfrac{u'(x)\cdot v(x) - u(x)\cdot v'(x)}{\left[v(x)\right]^2}&\\
&=\dfrac{2x\cdot (x^2+1) - (x^2-1) \cdot 2x}{(x^2+1)^2}&\\
&=\dfrac{4x}{(x^2+1)^2}.&
\end{aligned}\]
-
$f(x) = \dfrac{x-1}{x+1}$;
corrigé
$f(x) = \dfrac{u(x)}{v(x)}$ avec $u(x)=x-1$ donc $u'(x) = 1$
et $v(x) = x+1$ donc $v'(x)=1$.
Alors :
\[\begin{aligned}
f'(x) &= \dfrac{u'(x)\cdot v(x) - u(x)\cdot v'(x)}{\left[v(x)\right]^2}&\\
&=\dfrac{1(x+1) - 1(x-1)}{(x+1)^2}&\\
&=\dfrac 2 {(x+1)^2}.&
\end{aligned}\]
-
$f(x) = \dfrac{x^5} 5 - \dfrac{x^4}{4} - \dfrac{5x^2} 4$;
corrigé
\[\begin{aligned}
f'(x) &= \dfrac 1 5 \times 5x^4 - \dfrac 1 4 \times 4x^3 - \dfrac 5 4 \times 2x&\\
&=x^4 -x^3 -\dfrac 5 2 x.&
\end{aligned}\]
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$f(t) = -\dfrac 4 3 t^3 + \dfrac 1 2 t - \dfrac 5 7$.
corrigé
\[\begin{aligned}
f'(t) &= -\dfrac 4 3 \times 3t^2 + \dfrac 1 2 \times 1 - 0&\\
&= -4t^2 + \dfrac 1 2.&
\end{aligned}\]
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