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Calculer $\displaystyle\int_0^{\pi/4}f(x)\mathrm dx$ sachant que la valeur moyenne
de $f$ sur $\left[-\dfrac{\pi}4;\dfrac{\pi}4\right]$ est égale à $\dfrac{2}{\pi}$ et
que la fonction $f$ est paire.
Corrigé
Sachant que la valeur moyenne de $f$ sur $\left[-\dfrac{\pi}4;\dfrac{\pi}4\right]$ est
$\dfrac{2}{\pi}$, on peut écrire que:
\[\begin{aligned}
\frac{1}{\frac\pi 4 -\left(-\frac{\pi}4\right)} \int_{-\pi/4}^{\pi/4} f(x)\mathrm dx &= \frac{2}{\pi}&
\\ \iff
\frac{1}{\frac{2\pi}4} \int_{-\pi/4}^{\pi/4} f(x)\mathrm dx &= \frac{2}{\pi}&
\\ \iff
\frac 2{\pi} \int_{-\pi/4}^{\pi/4} f(x)\mathrm dx &= \frac{2}{\pi}&
\\ \iff
\int_{-\pi/4}^{\pi/4} f(x)\mathrm dx &= 1.&
\end{aligned}\]
De plus, $f$ est paire donc:
\[\int_0^{\pi/4} f(x)\mathrm dx = \frac 12\int_{-\pi/4}^{\pi/4} f(x) \mathrm dx = \frac 12 \times 1 = \frac 12.\]
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