\[\begin{aligned} &\int_{-2}^2 (x^2+3)\mathrm dx = \left[\dfrac{x^3}3 + 3x\right]_{-2}^{2}& \\ &=\dfrac{2^3}3 + 3\times 2 - \dfrac{(-2)^3}3 - 3\times (-2)& \\ &=\dfrac83 + 6 +\dfrac83 +6& \\ &= \frac{52}3.& \end{aligned}\] Donc la valeur moyenne de $f$ sur $[-2;2]$ est: \[\frac 1{2-(-2)}\int_{-2}^2 f(x)\mathrm dx =\frac 1 4 \times \frac{52}3 = \frac{13}3.\] La fonction constante admettant la même intégrale sur $[-2;2]$ que $f$ est $x\mapsto \dfrac{13}3$.

Si l'on pose $u(x) = x^2 - 3$, alors $u'(x) = 2x$. On a donc: \[g(x) = \frac{x}{x^2-3} = \frac 12 \times \frac{2x}{x^2-3} = \frac12 \times \frac{u'(x)}{u(x)}.\] Sachant que $2 =\sqrt{4}$ donc $2 > \sqrt 3$, $u$ est strictement positive sur $[2;4]$ donc $g$ admet pour primitive sur cet intervalle: \[x\mapsto \ln(x^2-3).\] Donc: \[\begin{aligned} \int_{2}^4 g(x)\mathrm dx &= \big[\ln(x^2 - 3)\big]_{2}^4 & \\ &=\ln(\mathrm 4^2 - 3) - \ln(\mathrm 2^2-3)& \\ &= \ln(13) - \ln(1)& \\ &= \ln(13).& \end{aligned}\] La valeur moyenne de $g$ sur $[2;4]$ est donc: \[\frac1{4-2}\int_2^4g(x)\mathrm dx = \frac 12\ln(13).\] La fonction constante qui admet la même intégrale que $g$ sur $[2;4]$ est $x\mapsto \dfrac12\ln(13)$.