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1.
À l'aide d'une intégration par parties, calculer
\[\int_1^x \ln(t)\mathrm dt\]
en prenant $u(t) = \ln(t)$ et $v'(t) = 1$.
Corrigé
On a donc:
\[\begin{aligned}
u(t)&=\ln(t)\;;&\qquad u'(t)&=\frac1x\;;&
\\
v'(t)&=1\;;&\qquad v(t)&=t.&
\end{aligned}\]
$u'$ et $v'$ sont continues sur $\mathbb R$ donc on peut réaliser une intégration par parties.
\[\begin{aligned}
\int_1^x \ln(t)\mathrm dt
&=\int_1^x 1\ln(t)\mathrm dt&
\\
&=\int_1^x u(t)v'(t)\mathrm dt&
\\
&=\big[u(t)v(t)\big]_1^x - \int_1^x u'(t)v(t)\mathrm dt&
\\
&=\big[t\ln(t)\big]_1^x - \int_1^x \frac 1t \times t \mathrm dt&
\\
&=x\ln(x) - 1\ln(1) - \int_1^x 1\mathrm dt&
\\
&=x\ln(x) - \big[t\big]_1^x&
\\
&=x\ln(x) - x + 1.&
\end{aligned}\]
2.
En déduire les primitives de la fonction logarithme népérien sur $]0;+\infty[$.
Corrigé
D'après le cours, la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par
\[x\mapsto \int_1^x \ln(t)\mathrm dt\]
est la primitive de $x\mapsto \ln(x)$ qui s'annule en 1.
Donc l'ensemble des primitives de $x\mapsto \ln(x)$ sur $]0;+\infty[$ est formé des fonctions
\[x\mapsto x\ln(x) - x + C\]
où $C$ est une constante réelle quelconque.
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