On a donc: \[\begin{aligned} u(x)&=x\;;&\qquad u'(x)&=1\;;& \\ v'(x)&=\mathrm e^x\;;&\qquad v(x)&=\mathrm e^x.& \end{aligned}\] Les fonctions $u'$ et $v'$ étant de plus continues sur $[0;1]$, on peut appliquer l'intégration par parties: \[\begin{aligned} \int_0^1 x\mathrm e^x\mathrm dx &= \int_0^1 v'(x)u(x)\mathrm dx& \\ &=\big[u(x)v(x)\big]_0^1 - \int_0^1 v(x)u'(x)\mathrm dx& \\ &=\big[x\mathrm e^x\big]_0^1 - \int_0^1 1\mathrm e^x\mathrm dx& \\ &=1\mathrm e^1 - 0\mathrm e^0 - \big[\mathrm e^x\big]_0^1& \\ &=\mathrm e - (\mathrm e^1 - \mathrm e^0)& \\ &=\mathrm e - \mathrm e + 1& \\ &=\boxed{1.}& \end{aligned}\]