Déterminer, en fonction de $x$, le signe des fonctions ci-après:

1. $f$ définie sur $\mathbb R$ par $f(x) = (x+1)(5x-4)$;
   Corrigé
   Cherchons les valeurs qui annulent chaque facteur: \begin{eqnarray*} x + 1 = 0 \iff x = -1\\ 5x-4=0 \iff 5x = 4 \iff x = \frac 4 5. \end{eqnarray*} D'autre part, en considérant le signe de leurs coefficients directeurs, on sait que $x\mapsto x +1$ et $x\mapsto 4x - 4$ sont deux fonctions strictement croissantes, donc négatives à gauche de leur racine.
   D'où l'étude de signe:

   
2. $g$ définie sur $\mathbb R$ par $g(x) = (7x-5)(2-3x)$;
   Corrigé
   On a: \begin{eqnarray*} 7x-5 = 0 \iff 7x = 5 \iff x = \frac 5 7.\\ 2-3x = 0 \iff -3x = -2 \iff x = \frac{-2}{-3} = \frac 2 3. \end{eqnarray*} D'autre part, $x\mapsto 7x - 5$ est strictement croissante, donc négative à gauche de sa racine tandis que $x\mapsto 2 - 3x$ est strictement décroissante donc positive à gauche de sa racine.
   D'où l'étude de signes:

   
3. $h$ définie sur $\mathbb R\setminus\{3\}$ par $h(x) = \dfrac{x-11}{x-3}$.
   Corrigé
   On a: \begin{eqnarray*} x - 11 = 0 \iff x = 11\\ x- 3 = 0 \iff x = 3. \end{eqnarray*} D'autre part, $x\mapsto x-11$ et $x\mapsto x-3$ sont deux fonctions strictement croissantes.
   D'où le tableau de signes:

   

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code : 303