ex-2970 - Probas et suites

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Un étudiant mange tous les jours au restaurant universitaire. Ce restaurant propose des plats végétariens et des plats non végétariens.

Pour tout entier naturel $n$, on note $V_n$, l'évènement « l'étudiant a choisi un plat végétarien le $n$e jour » et $p_n$ la probabilité de $V_n$.

Le jour de la rentrée, l'étudiant a choisi le plat végétarien. On a donc $p_1 = 1$.

1.a. Indiquer la valeur de $p_2$.

Corrigé
D'après la consigne $P(V_1) = 1$ et pour tout entier naturel $n$ non nul, $P_{V_n}(V_{n+1}) = 0,9$ et $P_{\overline{V_n}}(V_{n+1}) = 0,7$.
Puisque l'on sait que $V_1$ est réalisé, alors $P(V_2) = P_{V_1}(V_2) = 0,9$.

b. Montrer que $p_3 = 0,88$. On pourra s'aider d'un arbre pondéré.

Corrigé
$P(\overline V_2) = 1 -P(V_2) = 1 - 0,9 = 0,1$.
On peut proposer l'arbre pondéré suivant:
arbre complété
On cherche $p_3 = P(V_3)$. Or selon la formule des probabilités totales: \[\begin{aligned} P(V_3) &= P(V_3\cap V_2) + P(V_3 \cap \overline{V_2})& \\ &=P(V_2)\times P_{V_2}(V_3) + P(\overline{V_2})\times P_{\overline{V_2}}(V_3)& \\ &=0,9 \times 0,9 + 0,1\times 0,7& \\ &=0,88.& \end{aligned}\]

c. Sachant que le 3e jour l'étudiant a choisi un plat végétarien, quelle est la probabilité qu’il ait choisi un plat non végétarien le jour précédent ?
On arrondira le résultat à 10−2.

Corrigé
On nous demande ici $P_{V_3}(\overline{V_2})$. Or par définition: \[\begin{aligned} P_{V_3}(\overline{V_2}) &= \frac{P(V_3 \cap \overline{V_2})}{P(V_3)}& \\ &=\frac{P(V_2)\times P_{\overline{V_2}}(V_3)}{p_3}& \\ &=\frac{0,9 \times 0,7}{0,88}& \\ &\approx 0,72.& \end{aligned}\]

2. Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous :
arbre à compléter

Corrigé
Arbre complété:
arbre complété

3. Justifier que, pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, $p_{n+1} = 0,2p_n + 0,7$.

Corrigé
Selon la loi des probabilités totales: \[\begin{aligned} P(V_{n+1} &= P(V_n\cap V_{n+1}) + P(\overline{V_n} \cap V_{n+1})& \\ &=P(V_n)\times P_{V_n}(V_{n+1}) + P(\overline{V_n})\times P_{\overline{V_n}}(V_{n+1})& \\ &=p_n \times 0,9 + (1-p_n)\times 0,7& \\ &=0,9p_n + 0,7 - 0,7p_n& \\ &=0,2p_n + 0,7.& \end{aligned}\]

4. On souhaite disposer de la liste des premiers termes de la suite $(p_n)$ pour $n \geqslant 1$.
Pour cela, on utilise une fonction appelée repas programmée en langage Python dont on propose trois versions, indiquées ci-dessous.

Programme 1 : programme 1
Programme 2 : programme 2
Programme 3 : programme 3

a. Lequel de ces programmes permet d’afficher les $n$ premiers termes de la suite $(p_n)$?
Aucune justification n'est attendue.

Corrigé
C'est le programme 1 qui convient. Le programme 2 affiche les $n+1$ premiers termes et le programme 3 affiche les $n$ premiers termes augmentés de 1.

b. Avec le programme choisi à la question a. donner le résultat affiché pour $n = 5$.

Corrigé
On peut saisir le programme en question sur la calculatrice, ou calculer les termes suivants de la suite $p_n$. \[\begin{aligned} p_3 &= 0,88\;;& \\ p_4 &= 0,2\times 0,88 + 0,7 = 0,876\;;& \\ p_5 &= 0,2\times 0,876 + 0,7 = 0,8752.& \end{aligned}\] Donc le programme retourne la valeur 0,8752.

5. Démontrer par récurrence que, pour tout naturel $n \geqslant 1$, \[p_n = 0,125 \times 0,2^{n - 1} + 0,875.\]

Corrigé
Soit $\mathscr A(n)$ l'assertion «$p_n = 0,125\times 0,2^{n-1} + 0,875$.
Initialisation : Si $n = 1$, \[\begin{aligned} &0,125\times 0,2^{n-1} + 0,875& \\ &= 0,125\times 0,2^0 + 0,875& \\ &= 0,125\times 1 + 0,875& \\ &= 1.& \end{aligned}\] Or $p_1 = 1$. Donc $\mathscr A(1)$ est vraie.
Hérédité. Supposons que pour un entier naturel $k$ non nul quelconque, $\mathscr A(k)$ soit vraie.
Donc on suppose que $p_k = 0,125\times 0,2^{k-1} + 0,875$.
Alors: \[\begin{aligned} p_{k+1} &= 0,2 p_n + 0,7 = 0,2(0,125\times 0,2^{k-1} + 0,875) + 0,7& \\ &=0,125 \times 0,2\times 0,2^{k-1} + 0,2\times 0,875 + 0,7& \\ &=0,125 \times 0,2^{k+1-1} + 0,175 + 0,7& \\ &=0,125 \times 0,2^{(k+1) - 1} + 0,875.& \end{aligned}\] Donc $\mathscr A(k+1)$ est alors aussi vraie.
Initialisée et héréditaire, l'assertion $\mathscr A(n)$ est donc vraie par récurrence pour tout entier naturel $n$ non nul.

6. En déduire la limite de la suite $(p_n)$.

Corrigé
Puisque $0,2\in]-1;1[$, on sait que $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} 0,2^{n-1} = 0$.
Donc, par produit puis somme: $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} 0,125\times 0,2^{n-1} + 0,875 = 0,875$.

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