ex-2964 - QCM fonctions

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Cet exercice est un QCM. Pour chaque question, une seule des réponses proposées est exacte.

1. Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par $f(x) = \mathrm{e}^{-x^2+1}$.
La fonction $f$ admet pour dérivée la fonction $f'$ définie sur $\mathbb R$ par:

  1. $f'(x) = \mathrm{e}^{-x^2+1}$;
  2. $f'(x) = \left(-x^2 +1\right)\mathrm{e}^{-x^2+1}$;
  3. $f'(x) = - 2x\mathrm e^{-x^2+1}$;
  4. $f'(x) = \mathrm{e}^{-2x}$.

Corrigé
Réponse c. $f = :\mathrm e^u$ où $u(x) =-x^2 + 1$ donc $u'(x) = -2x$. Donc $f'=u'\mathrm e^u$ ce qui donne: \[f'(x) = -2x\mathrm e^{-x^2+1}.\]

2. Soit $a$ un réel quelconque. On pose : $B = \dfrac{\mathrm e^{a}\times \mathrm e^{3-a}}{\mathrm e}$.
Alors :

  1. $B = \mathrm e^2$;
  2. $B = 7,39$;
  3. $B = \mathrm e^{3a-a^2-1}$;
  4. $B = a \times \mathrm e^{3-a}$.

Corrigé
Réponse a. En effet: \[B = \frac{\mathrm e^a \times \mathrm e^{3-a}}{\mathrm e} =\frac{\mathrm e^{a+3 - a}}{\mathrm e^1} = \mathrm e^{3-1} = \mathrm e^2.\]

Pour les deux questions suivantes, on a représenté ci-dessous la courbe représentative d'une fonction $f$ ainsi que deux de ses tangentes aux points d'abscisses respectives 2 et 4.

courbe de la fonction

3. $f'(4)$ est égal à:

  1. $2$;
  2. $-1$;
  3. $0,5$;
  4. $0$.

Corrigé
Réponse c. en effet la tangente à $\mathscr C_f$ au point d'abscisse 4 passe par les points de coordonnées $(0;0)$ et $(4;2)$.
Elle a donc pour coefficient directeur $\dfrac{2-0}{4-0} = \dfrac12 = 0,5$.

4. $f$ est convexe sur l'intervalle:

  1. ]−∞ ; 2];
  2. ]−∞ ; 0,5];
  3. [0 ; 4];
  4. [2 ; 5].

Corrigé
Réponse d. La tangente au point d'abscisse 2 coupe $\mathscr C_f$. C'est donc un point d'inflexion. $\mathscr C_f$ est au dessus de ses tangentes à droite de ce point, donc convexe sur (au moins) $[2;5]$.

5. Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-10;10]$ par $f(x) = (2x - 3)\mathrm{e}^{-3x}$.
L'équation $f(x) = 0$ admet sur l'intervalle $[-10;10]$:

  1. 0 solution;
  2. 1 solution;
  3. 2 solutions;
  4. 3 solutions ou plus.

Corrigé
Réponse b. Dans le produit $(2x-3)\mathrm e^x$, $\mathrm e^x$ ne peut pas être nul. Donc ce produit est nul ssi: \[2x - 3 = 0 \iff 2x = 3 \iff x = \frac 32.\] C'est donc l'unique solution de l'équation.

6. Soit $g$ la fonction définie sur $[-1\;;\;4]$ par $g(x) = - x^3 + 3x^2 - 1$ et $\mathcal{C}_g$ sa courbe représentative dans un repère.
La tangente à la courbe $\mathcal{C}_g$ au point d'abscisse 1 a pour équation:

  1. $y = - 3x^2 + 6x$;
  2. $y= 3x-2$;
  3. $y= 3x - 3$;
  4. $y = 2x - 1$.

Corrigé
Réponse b. D'une part: $g(1) = -1^3 + 3\times 1 - 1 = -1 +3 - 1 = 1$.
D'autre part $g$ est dérivable sur $[-1\;;\;4]$ et \[g'(x) =-3x^2 + 3\times 2x - 0 = -3x^2 + 6x.\] Donc \[g'(1) = -3\times 1^2 + 6\times 1 = -3+6 = 3.\] L'équation de la tangente est donc: \[y = 3(x - 1) + 1 \iff y = 3x - 2.\]

Pour les trois questions suivantes, on considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $\mathbb R$ dont la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ est donnée ci-dessous.

courbe de la fonction

7. Le nombre de solutions dans $[-7;7]$ de l'équation $f'(x) = 0$ est :

  1. 0;
  2. 1;
  3. 2;
  4. 3.

Corrigé
Réponse c.$\mathscr C_f$ admet deux tangentes horizontales (en des points d'abscisses voisines de $-1$ et $1$.

8. Une valeur approchée de la solution de l'équation $f(x) = - 0,3$ sur l'intervalle $[-1;6]$ est:

  1. −3;
  2. −0,3;
  3. 0,3;
  4. 3.

Corrigé
Réponse a. $\mathscr C_f$ admet deux points d'ordonnée −0,3. Un seul a une abscisse dans [−1;6] et cette abscisse est voisine de −3.

9. Le nombre de points d'inflexion dans [−7;7] de $\mathcal{C}_f$ est:

  1. 0;
  2. 1;
  3. 2;
  4. 3.

Corrigé
Réponse c. La fonction semble concave sur [−7;−1,5], convexe sur [−1,5;0,5] et à nouveau concave sur [0,5;7].
Il y a donc deux changements de concavité donc deux points d'inflexion.

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code : 2964