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Dans un repère $(O;\vec i,\vec j, \vec k)$ de l'espace, on considère les points
\[\begin{aligned}
&A(-2;2;-1),&\quad&B(2;0;3),&\quad&C(-2;0;0),&
\\
&D(0;-4;1),&\quad&E(-2;-1;-2).&
\end{aligned}\]
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Vérifier que les points $A$, $B$ et $C$ définissent un plan.
Corrigé
On a:
\[
\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}2+2\\0-2\\3+1\end{pmatrix}
\iff
\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}4\\-2\\4\end{pmatrix}
\]
et
\[
\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}-2+2\\0-2\\0+1\end{pmatrix}
\iff
\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}0\\-2\\1\end{pmatrix}
\]
S'il existait un réel $k$ tel que
\[\overrightarrow{AC} = k\overrightarrow{AB},\]
alors on aurait
\[\begin{cases}0=4k\\-2=-2k\\1=4k\end{cases} \iff
\begin{cases} k = 0\\k=1\\k=\frac 1 4\end{cases}
\]
Puisque c'est impossible, ce réel n'existe pas et les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont donc pas colinéaires. Les points $A$, $B$ et $C$, non alignés, définissent bien un plan.
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Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{DE}$ sont-ils coplanaires ?
Corrigé
On note que $\overrightarrow{DE}$ a pour coordonnées :
$\begin{pmatrix}-2-0\\-1+4\\-2-1\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}-2\\3\\-3\end{pmatrix}$.
Si $\alpha$ et $\beta$ sont deux réels, l'égalité
\[\overrightarrow{DE} = \alpha\overrightarrow{AB}+\beta\overrightarrow{AC}\]
se traduit par
\[\begin{aligned}
&\begin{cases}-2=4\alpha + 0\beta\\3=-2\alpha-2\beta\\-3=4\alpha+\beta\end{cases}&
\\ \iff
&\begin{cases} \alpha = -\frac 1 2\\ 3 = 1 - 2\beta\\-3=-2+\beta \end{cases}&
\\ \iff
&\begin{cases} \alpha = -\frac 1 2\\ \beta = -1\end{cases}.&
\end{aligned}\]
Puisque
\[\overrightarrow{DE} = -\frac 1 2 \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC},\]
ces vecteurs sont coplanaires.
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Que peut-on en déduire pour la droite $(DE)$ et le plan $(ABC)$ ?
Corrigé
Le vecteur $\overrightarrow{DE}$ étant coplanaire avec des vecteurs directeurs du plan $(ABC)$, la droite $(DE)$ est parallèle au plan $(ABC)$.
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