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On suppose le plan rapporté à un repère orthonormé.
Dans chacun des cas suivants, déterminer si les droites $(AB)$ et $(AC)$ sont orthogonales.
1.
$A(-2;3;1)$, $B(5;4;3)$ et $C(1;2;1)$.
Corrigé
On calcule les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$:
\[\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}7 \\ 1 \\2\end{pmatrix}\quad\text{et}\quad\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}3 \\ -1 \\ 0\end{pmatrix}.\]
Alors :
\[\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = 7 \times 3 + 1 \times (-20) + 2\times 0 = 20.\]
Puisque $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\neq 0$, les vecteurs directeurs des droites $(AB)$ et $(AC)$ ne sont pas orthogonaux, donc ces droites ne sont pas orthogonales.
1.
$A(1;2;0)$, $B(-2;0;1)$ et $C(3;-1;0)$.
Corrigé
On calcule ici que:
\[\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-3 \\ -2 \\ 1\end{pmatrix}
\quad\text{et}\quad
\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}2 \\ -3 \\ 0\end{pmatrix}.\]
Donc:
\[\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = -3\times 2 + (-2) \times (-3) + 1 \times 0 = 0.\]
Admettant des vecteurs orthogonaux, les droites $(AB)$ et $(AC)$ sont orthogonales.
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