Résoudre les équations suivantes dans ℝ :

1. \begin{flalign*} &(2x+3)(x-2) = 0\;;& \end{flalign*} Corrigé
   $(2x+3)(x-2) = 0$
   si et seulement si

   • soit
     $2x + 3 = 0 \iff 2x = -3 \iff x = -\dfrac 3 2$ ;
   • soit
     $x-2 = 0 \iff x = 2$.

   Donc $S = \left\{-\dfrac 3 2\;;\;2\right\}$.
2. \begin{flalign*} &\left(x - \frac 5 2\right)(2x - 7) = 0\;;& \end{flalign*} Corrigé
   $\left(x - \dfrac 5 2\right)\left(2x - 7\right) = 0$
   si et seulement si

   • soit
     $x - \dfrac 5 2 = 0 \iff x = \dfrac 5 2$;
   • soit
     $2x - 7 = 0 \iff 2x = 7 \iff x = \dfrac{7}{2}$.

   Donc $S = \left\{\dfrac 5 2\;;\;\dfrac 7 2\right\}$.
3. \begin{flalign*} &x(x-5) = 0\;;& \end{flalign*} Corrigé
   $x(x-5) = 0$
   si et seulement si
   $x = 0$
   ou
   $x- 5 = 0 \iff x = 5$.
   Donc $S = \big\{0\;;\;5\big\}$.
4. \begin{flalign*} &(4-x)(2x-3)=0\;;& \end{flalign*} Corrigé
   $(4-x)(2x-3) = 0$ équivaut à
   $4 - x = 0 \iff 4 = x$
   ou
   $2x - 3 = 0 \iff 2x = 3 \iff x = \dfrac 3 2$.
   Donc $S = \left\{\dfrac 3 2\;;\; 4\right\}$.
5. \begin{flalign*} &(x+4)^2=0\;;& \end{flalign*} Corrigé
   $(x+4)^2 = 0$
   $\iff (x + 4)(x+4) = 0$
   $\iff x + 4 = 0$
   $x = -4$.
   Donc $S = \big\{-4\big\}$.
6. \begin{flalign*} &\left(x\sqrt 3 + 1\right)\left(x\sqrt 2 - 1\right) = 0\;;& \end{flalign*} Corrigé
   $\left(x\sqrt 3 + 1\right)\left(x\sqrt 2 - 1\right) = 0$ équivaut à
   soit
   $x\sqrt 3 + 1 = 0 \iff x\sqrt 3 = -1 \iff x = -\dfrac{1}{\sqrt 3}$;
   soit
   $x\sqrt 2 - 1 = 0 \iff x\sqrt 2 = 1 \iff x = \dfrac 1 {\sqrt 2}$.
   Donc $S = \left\{-\dfrac 1 {\sqrt 3}\;;\; \dfrac 1 {\sqrt 2}\right\}$.
7. \begin{flalign*} &(x^2+3)(2x-1)=0\;;& \end{flalign*} Corrigé
   $(x^2 + 3)(2x - 1) = 0$ équivaut à
   

   • soit
     $x^2 + 3 = 0 \iff x^2 = -3$
     qui n'a pas de solution car un carré ne peut être strictement négatif;
   • soit
     $2x - 1 = 0 \iff 2x = 1 \iff x = \dfrac 1 2$.

   Donc $S = \left\{\dfrac 1 2\right\}$.
8. \begin{flalign*} &5x(x-2)(3x-1)=0.& \end{flalign*} Corrigé
   $5x(x-2)(3x-1) = 0$
   si et seulement si l'une des conditions suivantes est satisfaite.

   • $5x = 0 \iff x = 0$;
   • $x-2 = 0 \iff x = 2$;
   • $3x-1 = 0 \iff x = \dfrac 1 3$.

   Donc $S = \left\{0\;;\;\dfrac 1 3\;;\; 2\right\}$.

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