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L'espace est rapporté au repère $(O;\vec i,\vec j,\vec k)$ orthonormé. On considère les vecteurs
\[\vec u = 2\vec i + \vec j \quad\text{et}\quad \vec v = -\vec i + \vec k.\]
Trouver, parmi les vecteurs suivants, ceux qui sont orthogonaux à la fois à $\vec u$ et $\vec v$.
a)
$\vec w_1\begin{pmatrix}1 \\ -2 \\ 5\end{pmatrix}$;
Corrigé
$\vec w_1$ ne convient pas car
\[\vec v \cdot \vec w_1 = -1\times 1 + 0\times (-2) + 1\times 5 = 4.\]
$\vec v\cdot \vec w_1 \neq 0$ donc $\vec w_1$ n'est pas orthogonal à $\vec v$.
b)
$\vec w_2\begin{pmatrix}3 \\ -2 \\ 3\end{pmatrix}$;
Corrigé
$\vec w_2$ ne convient pas. En effet:
\[\vec u \cdot \vec w_2 = 2\times 3 + 1\times (-2) + 0 \times 3 = 4.\]
$\vec u \cdot \vec w_2 \neq 0$ donc $\vec w_2$ n'est pas orthogonal à $\vec u$.
c)
$\vec w_3 = 2\vec i-4\vec j + 2\vec k$;
Corrigé
$\vec w_3$ convient. En effet:
\[\begin{aligned}
\vec u \cdot \vec w_3 &= 2\times 2 + 1\times (-4) + 0\times 2 = 0\;;&
\\
\vec v \cdot \vec w_3 &= -1\times 2 + 0\times (-4) + 1\times 2 = 0.&
\end{aligned}\]
Puisque $\vec u \cdot \vec w_3 = \vec v \cdot \vec w_3 = 0$, le vecteur $\vec w_3$ est bien orthogonal à la fois
à $\vec u$ et à $\vec v$.
d)
$\vec w_4 = \vec j + \vec k$;
Corrigé
Le vecteur $\vec w_4$ ne convient pas car il n'est pas orthogonal à $\vec u$. En effet
\[\vec u \cdot \vec w_4 = 2\times 0 + 1\times 1 + 0\times 1 = 1 \implies \vec u \cdot \vec w_4 \neq 0.\]
e)
$\vec w_5\begin{pmatrix}-1 \\ 2 \\ -1\end{pmatrix}$;
Corrigé
Le vecteur $\vec w_5$ convient car il est à la fois orthogonal à $\vec u$ et à $\vec v$. En effet :
\[\begin{aligned}
\vec u \cdot \vec w_5 &= 2\times (-1) + 1\times 2 + 0\times (-1) = 0\;;&
\\
\vec v \cdot \vec w_5 &= -1\times (-1) + 0\times 2 + 1\times (-1) = 0.&
\end{aligned}\]
f)
$\vec w_6 = \vec k$.
Corrigé
Le vecteur $\vec w_6$ ne convient pas car il n'est pas orthogonal à $\vec v$. En effet:
\[\vec v \cdot \vec w_6 = -1\times 0 + 0\times 0 + 1\times 1 = 1
\implies \vec v \cdot \vec w_6 \neq 0.\]
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