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L'espace étant rapporté à un repère orthogonal $(O;\vec i,\vec j,\vec k)$, déterminer le réel $a$ pour que les vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ soient orthogonaux dans les cas suivants :
1.
$\vec u\begin{pmatrix}-2 \\ a \\ 5\end{pmatrix}$ et $\vec v\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ a\end{pmatrix}$;
Corrigé
$\vec u$ et $\vec v$ sont orthogonaux si et seulement si
\[\begin{aligned}
\vec u \cdot \vec v &= 0&
\\ \iff
-2\times 1 + a\times 1 + 5a &=0&
\\ \iff
6a &=2&
\\ \iff
a&=\frac 1 3.&
\end{aligned}\]
2.
$\vec u = a\vec i - \vec j + a\vec k$ et $\vec v = \vec j + a\vec k$;
Corrigé
On a donc $\vec u\begin{pmatrix}a\\-1\\a\end{pmatrix}$ et $\vec v\begin{pmatrix}0\\1\\a\end{pmatrix}$.
$\vec u$ et $\vec v$ sont orthogonaux si et seulement si
\[\begin{aligned}
\vec u \cdot \vec v &=0&
\\ \iff
a \times 0 + (-1) \times 1 + a\times a &=0&
\\ \iff
-1+a^2 &=0&
\\ \iff
a^2 &=1.&
\end{aligned}\]
Donc soit $a=-1$, soit $a = 1$.
3.
$\vec u\begin{pmatrix}a \\ -2a \\ a\end{pmatrix}$ et $\vec v = \vec i - 2a\vec k$.
Corrigé
Ici $\vec v\begin{pmatrix}1\\0\\-2a\end{pmatrix}$.
$\vec u$ et $\vec v$ sont orthogonaux si et seulement si
\[\begin{aligned}
\vec u \cdot \vec v &= 0&
\\ \iff
a\times 1 + (-2a)\times 0 + a\times (-2a) &=0&
\\ \iff
-2a^2 + a &=0&
\\ \iff
a(-2a + 1)&=0.&
\end{aligned}\]
Un produit s'annule si et seulement si l'un de ses facteurs s'annule, donc soit
\[a = 0\]
soit
\[-2a + 1 = 0 \iff a = \frac 1 2.\]
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