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L'objectif de cet exercice est de déterminer la valeur exacte de $\cos\dfrac{\pi}5$.
Soit le cercle trigonométrique $\mathscr C$ muni de son repère
$(\mathrm O;\overrightarrow{\mathrm{OI}},\overrightarrow{\mathrm{OJ}})$ et $\mathrm M$ le point de $\mathscr C$ tel que
\[(\overrightarrow{\mathrm{OI}},\overrightarrow{\mathrm{OM}})=\dfrac \pi 5.\]
La bissectrice de l'angle $\widehat{\mathrm{OMI}}$ coupe [OI] en $\mathrm K$.
1.
Quelle est la mesure en degrés de l'angle $\widehat{\mathrm{IOM}}$?
Corrigé
$\widehat{\mathrm{IOM}} = \dfrac{180}{5} = 36°$.
2.
Justifier que le triangle $\mathrm{IOM}$ est isocèle en $\mathrm O$.
Corrigé
Puisque $[\mathrm{OI}]$ et $[\mathrm{OM}]$ sont deux rayons du cercle trigonométrique :
\[\mathrm{OI} = \mathrm{OM} = 1.\]
Donc $\mathrm{IOM}$ est bien isocèle en $\mathrm O$.
3.
Démontrer que les triangles $\mathrm{OKM}$ et $\mathrm{KMI}$ sont isocèles.
Corrigé
Puisque [MK] est la bissectrice de l'angle $\widehat{\mathrm{OMI}}$ :
\[\widehat{\mathrm{OMK}} = \widehat{\mathrm{KOM}}
=\frac{\widehat{\mathrm{OMI}}}{2} = \frac{72}{2} = 36°.\]
Dans le triangle OKM on a donc :
\[\widehat{\mathrm{OMK}} = \widehat{\mathrm{KOM}} = 36°.\]
Donc ce triangle est isocèle en $\mathrm K$.
Toujours dans ce triangle :
\[\widehat{\mathrm{OKM}} = 180 - \widehat{\mathrm{OMK}} - \widehat{\mathrm{KOM}}
=180 - 2\times 36
=108°.
\]
Puisque $\mathrm K$ appartient au segment $[\mathrm{OI}]$ :
\[\widehat{\mathrm{IKM}} = 180 - \widehat{\mathrm{OKM}} = 180 - 108 = 72°.\]
Dans le triangle $\mathrm{KMI}$ :
\[
\widehat{\mathrm{KIM}}
=180 - \widehat{\mathrm{IKM}} - \widehat{\mathrm{KMI}}
=180 - 72 - 36
= 72°.
\]
On constate que
\[\widehat{\mathrm{IKM}} = \widehat{\mathrm{KIM}}\]
donc le triangle $\mathrm{KMI}$ est isocèle en $\mathrm M$.
4.
Dans le triangle $\mathrm{KMI}$, $\mathrm H$ est le pied de la
hauteur issue de $\mathrm M$.
Démontrer que
\[\mathrm{HI} = 1 - \cos\dfrac{\pi}5.\]
Corrigé
Le triangle $\mathrm{OHM}$ est rectangle en $\mathrm H$ donc
\[
\cos\frac{\pi}5 = \cos\widehat{\mathrm{HOM}} = \frac{\mathrm{OH}}{\mathrm{OM}} = \frac{\mathrm{OH}}1
= \mathrm{OH}.
\]
Puisque $\mathrm H$ appartient au segment $[\mathrm{OI}]$ :
\[
\mathrm{HI} = \mathrm{OI} - \mathrm{OH} = 1 - \cos\dfrac{\pi}5.
\]
5.
Déduire de la question précédente que
\[\mathrm{OK}=2\cos\dfrac{\pi}5 - 1.\]
Corrigé
Le triangle $\mathrm{KIM}$ étant isocèle en $\mathrm M$,
le pied $\mathrm H$ de la hauteur issue de $\mathrm M$ est aussi le milieu du côté $[\mathrm{KI}]$.
Donc
\[
\mathrm{KI} = 2\mathrm{HI} = 2\left(1 - \cos\frac{\pi}2\right) = 2 - 2\cos\frac{\pi}2.
\]
Alors, $\mathrm K$ appartenant au segment $[\mathrm{OI}]$ :
\[
\mathrm{OK} = \mathrm{OI} - \mathrm{KI} = 1 - 2 + 2\cos\frac{\pi}5 = 2\cos\frac{\pi}5 - 1.
\]
6.
Dans le triangle $\mathrm{OKM}$ on considère le point $\mathrm R$, pied de la hauteur issue de $\mathrm K$.
Démontrer que
\[\mathrm{OK} = \dfrac{1}{2\cos\dfrac{\pi}5}.\]
Corrigé
Le triangle $\mathrm{OKM}$ est isocèle en $\mathrm K$,
donc le pied $\mathrm R$ de la hauteur issue de $\mathrm K$ est aussi le milieu de $[\mathrm{OM}]$, ce qui
revient à dire que
\[\mathrm{OR} = \frac 1 2\mathrm{OM} = \frac 1 2 \times 1 = \frac 1 2.\]
Le triangle $\mathrm{ORK}$ est rectangle en $\mathrm R$ donc
\[
\begin{aligned}
\cos\widehat{\mathrm{KOR}} &= \frac{\mathrm{OR}}{\mathrm{OK}}&
\\ \iff
\cos\frac{\pi} 5 &= \frac{1/2}{\mathrm{OK}}&
\\ \iff
\cos\frac{\pi} 5 \times \mathrm{OK} &= \frac 1 2&
\\ \iff
\mathrm{OK} &= \frac{1/2}{\cos\dfrac{\pi}5}&
\\ \iff
\mathrm{OK} &= \frac 1 {2\cos\dfrac{\pi}5}.&
\end{aligned}
\]
7.
Déduire des questions précédentes que :
\[4\cos^2\frac{\pi}5 - 2\cos\frac{\pi}5 - 1 = 0.\]
Corrigé
Les deux expressions obtenues pour calculer la même longueur $\mathrm{OK}$ sont forcément égales. Donc :
\[
\begin{aligned}
1 - \cos\frac{\pi} 5 &= \frac 1 {2\cos\dfrac{\pi}5}&
\\ \iff
2\cos\frac{\pi}5 \left(1 - \cos\frac{\pi} 5\right) &= 1&
\\ \iff
2\cos\frac{\pi} 5 - 2\cos^2\frac{\pi}5 - 1 &= 0.&
\end{aligned}
\]
8.
En posant $X=\cos\dfrac{\pi}5$, l'équation précédente devient
\[4X^2 - 2X - 1 = 0.\]
En déduire la valeur exacte de $\cos\dfrac{\pi}5$.
Corrigé
Le discriminant de l'équation
\[4X^2 - 2X - 1 = 0\]
est
\[\Delta = (-2)^2 - 4\times 4 \times (-1) = 4 + 16 = 20.\]
Il est strictement positif donc cette équation admet deux solutions réelles :
\[\begin{aligned}
X_1 &=\frac{2 - \sqrt{20}}{2\times 4} = \frac{2-2\sqrt 5}{8} = \frac{1-\sqrt 5}4;&
\\
X_2 &=\frac{2 + \sqrt{20}}{2\times 4} = \frac{2+2\sqrt 5}{8} = \frac{1+\sqrt 5}4.&
\end{aligned}\]
Ici $X_1$ est négatif, or on sait que $\cos\dfrac{\pi}5$ est positif. Donc :
\[\cos\dfrac{\pi}5 = \frac{1+\sqrt 5}4.\]
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