retour

Lewis Carroll (l'auteur d'Alice au pays des merveilles) nota un jour dans son journal qu'il pensait avoir découvert que le double de la somme de deux carrés peut toujours s'écrire comme une somme de deux carrés.
On parle ici de nombres entiers.

Par exemple \[\begin{aligned} 2(3^2 + 4^2) &= 2(9+16) = 50 = 1+49 = 1^2 + 7^2&\\ 2(5^2+8^2) &= 2(25 + 64)^2 = 178 = 9 + 169 = 3^2 + 13^2& \end{aligned}\]

1. Proposer deux autres exemples illustrant la conjecture de Lewis Carroll.
   Corrigé
   Au hasard… \[\begin{aligned} 2(1^2 + 2^2) &= 2(1+4) = 10 = 1+9 = 1^2 + 3^2\;;& \\ 2(3^2 + 5^2)&=2(9+25) = 68 = 4 + 64 = 2^2 + 8^2.& \end{aligned}\]
2. Démontrer cette conjecture.
   Corrigé
   Soit $a$ et $b$ les deux entiers dont on prend le double de la somme des carrés.
   Alors : \[\begin{aligned} (a+b)^2 + (a-b)^2 &= a^2 + \cancel{2ab} + b^2 + a^2 - \cancel{2ab} + b^2& \\ &= 2a^2 + 2b^2& \\ &= 2(a^2+b^2).& \end{aligned}\] Le double de la somme des carrés de deux entiers est donc bien égal à la somme des carrés de deux entiers, ces entiers étant la somme et la différence des deux entiers de départ.
3. Beaucoup plus difficile ! Dans son livre "Pillow Problems", Lewis Carroll montre aussi que le triple de la somme de trois carrés peut toujours s'écrire comme la somme de quatre carrés.
   Saurez-vous en faire autant ?
   Corrigé
   Si $a$, $b$ et $c$ sont les trois nombres de départ : \[\begin{aligned} &(a+b+c)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 + (a-b)^2& \\ &(a+b+c)(a+b+c) + (b-c)^2 + (c-a)^2 + (a-b)^2& \\ &=a^2 + ab + ac + ba + b^2 + bc + ca + cb + c^2& \\ &+ b^2 -2bc + c^2 +c^2 -2ac + a^2 +a^2 - 2ab + b^2& \\ &=a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc& \\ &+ 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 -2ab - 2ac - 2bc& \\ &=3a^2 + 3b^2 + 3c^2& \\ &=3(a^2 + b^2 + c^2).& \end{aligned}\]

Portrait de Lewis Carroll

retour

code : 258