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$g$ est la fonction définie sur $\mathbb R^*$ par
$g(x) = 2 + \dfrac{\cos(x)}x$.
$\mathscr C$ est la courbe représentative de $g$ dans un
repère orthonormé.
Démontrer que la droite d'équation $y = 2$ est une asymptote à $\mathscr C$.
Corrigé
Pour tout réel strictement positif $x$:
\begin{align*}
-1 \leqslant &\cos(x) \leqslant 1&
\\ \implies
-\frac 1 x \leqslant &\frac{\cos(x)}x \leqslant \frac 1 x&
\\ \implies
2-\frac 1 x \leqslant &2 + \frac{\cos(x)} x \leqslant 2+\frac 1 x&
\end{align*}
Or, sachant que
\[\lim_{x\to+\infty} \frac 1 x = 0\]
on en déduit que
\[\lim_{x\to+\infty} 2 - \frac 1 x = \lim_{x\to+\infty} 2 + \frac 1 x = 2.\]
Donc, par encadrement, on obtient que
\[\lim_{x\to+\infty} 2+\frac{\cos(x)}x = 2.\]
Cela implique que la droite d'équation $y = 2$ est une asymptote à $\mathscr C$.
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