On a bien $$\begin{array}{rlr}1\times 2\times 3\times 4+1& =24+1=25;& \\ (1\times 4+1{)}^2& =5^2=25.& \end{array}$$ De même $$\begin{array}{rlr}2\times 3\times 4\times 5+1& =121;& \\ (2\times 5+1{)}^2& ={11}^2=121.& \end{array}$$ Puis $$\begin{array}{rlr}3\times 4\times 5\times 6+1& =361;& \\ (3\times 6+1{)}^2& ={19}^2=361.& \end{array}$$ Enfin $$\begin{array}{rlr}4\times 5\times 6\times 7+1& =841;& \\ (4\times 7+1{)}^2& ={29}^2=841.& \end{array}$$

Si l'on note $n$ le premier facteur à gauche ($n$ étant donc un entier naturel non nul), il semblerait que $$n(n+1)(n+2)(n+3)+1={(n(n+3)+1)}^2.$$

Pour le prouver, développons chaque membre de cette égalité supposée : $$\begin{array}{rlr}& n(n+1)(n+2)(n+3)+1& \\ & =(n^2+n)(n+2)(n+3)+1& \\ & =(n^3+2n^2+n^2+2n)(n+3)+1& \\ & =(n^3+3n^2+2n)(n+3)+1& \\ & =n^4+3n^3+3n^3+9n^2+2n^2+6n+1& \\ & =\boxed{{\displaystyle n^4+6n^3+11n^2+6n+1}}.& \end{array}$$ D'autre part $$\begin{array}{rlr}& {(n(n+3)+1)}^2& \\ & ={(n(n+3))}^2+2n(n+3)+1^2& \\ & =n^2(n+3{)}^2+2n^2+6n+1& \\ & =n^2(n^2+6n+9)+2n^2+6n+1& \\ & =n^4+6n^3+9n^2+2n^2+6n+1& \\ & =\boxed{{\displaystyle n^4+6n^3+11n^2+6n}}.& \end{array}$$ Les écritures développées sont égales, donc ces expressions sont bien égales pour tout entier naturel $n$.