On a bien \[\begin{aligned} 1\times 2 \times 3 \times 4 + 1 &= 24+1 = 25\;;& \\ (1\times 4 + 1)^2 &=5^2 = 25.& \end{aligned}\] De même \[\begin{aligned} 2 \times 3 \times 4 \times 5+ 1 &= 121\;;& \\ (2\times 5 + 1)^2 &=11^2 = 121.& \end{aligned}\] Puis \[\begin{aligned} 3 \times 4 \times 5 \times 6 + 1 &= 361\;;& \\ (3\times 6 + 1)^2 &=19^2 = 361.& \end{aligned}\] Enfin \[\begin{aligned} 4 \times 5 \times 6 \times 7 + 1 &= 841\;;& \\ (4\times 7 + 1)^2 &=29^2 = 841.& \end{aligned}\]

Si l'on note $n$ le premier facteur à gauche ($n$ étant donc un entier naturel non nul), il semblerait que \[n(n+1)(n+2)(n+3) + 1 = \left(n(n+3)+1\right)^2.\]

Pour le prouver, développons chaque membre de cette égalité supposée : \[\begin{aligned} &n(n+1)(n+2)(n+3) +1& \\ &=(n^2+n)(n+2)(n+3)+1& \\ &=(n^3+2n^2+n^2+2n)(n+3)+1& \\ &=(n^3+3n^2+2n)(n+3)+1& \\ &=n^4+3n^3+3n^3+9n^2+2n^2+6n + 1& \\ &=\boxed{n^4+6n^3+11n^2+6n+1}.& \end{aligned}\] D'autre part \[\begin{aligned} &\left(n(n+3) + 1\right)^2& \\ &=\left(n(n+3)\right)^2 + 2n(n+3) + 1^2& \\ &=n^2(n+3)^2 + 2n^2 + 6n + 1& \\ &=n^2(n^2 + 6n + 9) + 2n^2 + 6n + 1& \\ &=n^4 + 6n^3 + 9n^2 + 2n^2 + 6n + 1& \\ &=\boxed{n^4 + 6n^3 + 11n^2 + 6n}.& \end{aligned}\] Les écritures développées sont égales, donc ces expressions sont bien égales pour tout entier naturel $n$.