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Partie A : établir une inégalité

Sur l'intervalle $[0;+\infty[$, on définit la fonction $f$ par \[f(x) = x - \ln(x + 1).\]

1. Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0;+\infty[$.
Corrigé

Pour tout $x\in]0;+\infty[$: \[f'(x) = 1 - \dfrac 1 {x+1} = \dfrac{x}{x+1}.\] Puisque $x\geqslant 0$, a fortiori $x+1 > 0$, donc $f'(x)\geqslant 0$.
La fonction $f$ est croissante sur $[0;+\infty[$.

2. En déduire que pour tout $x \in [0;+\infty[$, $\ln(x + 1) \leqslant x$.
Corrigé

On en déduit que $f(0) = 0$ est le minimum de la fonction $f$ donc pour tout réel $x$ positif : \begin{align*} f(x) &\geqslant 0& \\ \implies x - \ln(x+1) &\geqslant 0& \\ \implies x &\geqslant \ln(x+1).& \end{align*}

Partie B : application à l'étude d'une suite

On pose $u_0 = 1$ et pour tout entier naturel $n$, \[u_{n+1} = u_n - \ln \left(1 + u_n\right).\] On admet que la suite de terme général $u_n$ est bien définie.

1. Calculer une valeur approchée à 10⁻³ près de $u_2$.
Corrigé

\[u_1 = u_0 - \ln(u_0 + 1) = 1 - \ln(2) \approx 0,3069\] donc \[u_2 = u_1 - \ln(u_1 +1) \approx 0,0392.\]

2.a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n \ge 0$.
Corrigé

Initialisation. Puisque $u_0 = 1$, on a bien $u_0 \geqslant 0$.
Hérédité. Si, pour $n\in\mathbb N$, on a bien $u_n \ge 0$, alors la fonction $f$ étant croissante : \[u_n \geqslant 0 \implies f(u_n) \geqslant f(0) \implies u_{n+1} \geqslant 0\] Donc, par récurrence, on a bien $u_n \geqslant 0$ pour tout entier naturel $n$.

2.b. Démontrer que la suite $(u_n)$ est décroissante, et en déduire que pour tout entier naturel $n$, $u_n \le 1$.
Corrigé

Pour tout $n\in\mathbb N$, \[u_{n+1} - u_n = -\ln(1+u_n).\] Or : \begin{align*} u_n &\ge 0 & \\ \implies 1 + u_n &\geqslant 1& \\ \implies \ln(1+u_n)&\geqslant 0& \\ \implies -\ln(1+u_n) &\leqslant 0.& \end{align*} Pour tout $n\in\mathbb N$, $u_{n+1} - u_n \leqslant 0$, donc la suite $(u_n)$ est décroissante.
Puisque $(u_n)$ est décroissante, tous ses termes sont inférieur ou égaux au premier d'entre-eux, donc tous ses termes sont inférieurs ou égaux à $u_0 = 1$.

2.c. Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
Corrigé

Puisque $(u_n)$ est décroissante et minorée par 0, $(u_n)$ est convergente.

3. On note $\ell$ la limite de la suite $\left(u_n\right)$ et on admet que $\ell = f(\ell)$, où $f$ est la fonction définie dans la partie A.
En déduire la valeur de $\ell$.
Corrigé

\begin{align*} \ell &= \ell - \ln(1+\ell)& \\\iff 0 &= -\ln(1+\ell)& \\ \iff \ln(1+\ell) &= 0& \\ \iff 1+\ell &= 1& \\ \iff \ell &= 0.& \end{align*} La suite $(u_n)$ converge donc vers 0.

4.a. Écrire une fonction seuil(p) en Python qui, pour un entier naturel $p$ donné, permet de déterminer le plus petit rang $N$ à partir duquel tous les termes de la suite $\left(u_n\right)$ sont inférieurs à $10^{-p}$.
Corrigé

from math import log #log est bien la fonction ln en Python... def seuil(p): n = 0 u = 1 while u >= 10**(-p): n = n+1 u = u - log(1+u) return n

4.b. Déterminer le plus petit entier naturel $n$ à partir duquel tous les termes de la suite $\left(u_n\right)$ sont inférieurs à $10^{-5}$.
Corrigé 1 Corrigé 2

On fait tourner le programme sur un ordinateur ou une calculatrice:

>>> seuil(5) 4

Donc $n = 4$.

On peut calculer les termes successifs de $(u_n)$ à l'aide de la calculatrice.
On constate que $u_3 \approx 7,5\times 10^{-4}$ et que $u_4 \approx 2,8\times 10^{-7}$.
Donc $n = 4$.

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