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Calculer les intégrales suivantes:
1.
$\displaystyle\int_0^1 \left(x^2 + 3\right)\mathrm dx$;
Corrigé
\[\begin{aligned}
\int_0^1 (x^2 + 3)\mathrm dx
&=\left[\frac{x^3} 3 + 3x\right]_0^1&
\\
&=\frac{1^3} 3 + 3 \times 1 - \frac{0^3} 3 - 3 \times 0&
\\
&= \frac{10}3.&
\end{aligned}\]
2.
$\displaystyle\int_1^2 \left(2t + 4\right)\mathrm dt$;
Corrigé
\[\int_1^2 (2t + 4)\mathrm dt
\left[t^2 + 4t\right]_1^2
=2^2 + 4\times 2 - 1^2 - 4\times 1 = 7.
\]
3.
$\displaystyle\int_1^{\mathrm e} \dfrac 1 x\:\mathrm dx$;
Corrigé
\[\int_1^{\mathrm e} \frac 1 x\mathrm dx
=\left[\ln x\right]_1^{\mathrm e}
=\ln \mathrm e - \ln 1
=1 - 0
=1
\]
4.
$\displaystyle\int_1^2 \left(2\mathrm e^x - 5x\right)\:\mathrm dx$;
Corrigé
\[\begin{aligned}
\int_1^2 (2\mathrm e^x - 5x)\mathrm dx
&=\left[2\mathrm e^x - \frac 5 2 x^2\right]_1^2&
\\
&=2\mathrm e^2 - \frac 5 2 \times 2^2 - 2\mathrm e^1 + \frac 5 2 \times 1^2&
\\
&=2\mathrm e^2 - 10 - 2\mathrm e + \frac 5 2&
\\
&=2\mathrm e^2 - 2\mathrm e -\frac{15} 2.&
\end{aligned}\]
5.
$\displaystyle\int_1^2 \left(2x - \dfrac 3 {x+1}\right)\mathrm dx$;
Corrigé
\begin{align*}
\int_1^2 \left(2x - \frac 3 {x+1}\right)\mathrm dx
&=\left[x^2 - 3\ln(x+1)\right]_1^2&
\\
&=2^2 - 3\ln(2+1) - 1^2 + 3\ln(1+1)&
\\
&=3 - 3\ln 3 + 3\ln 2&
\\
&=3 - 3\left(\ln 3 - \ln 2\right)&
\\
&= 3 - 3\ln \frac 3 2.&
\end{align*}
6.
$\displaystyle\int_0^{1} 2x\mathrm e^{x^2}\mathrm dx$.
Corrigé
\[
\int_0^1 2x\mathrm e^{x^2}\mathrm dx
=\left[\mathrm e^{x^2}\right]_0^1
=\mathrm e^{1^2} - \mathrm e^{0^2}
=\mathrm e - 1.
\]
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