EX-2.03

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Un magazine est proposé sous deux versions, l'une papier, l'autre numérique.
L'éditeur a chargé une plateforme d'appels de démarcher une liste de clients potentiels.
Le centre d'appel contacte une personne au hasard sur cette liste. On considère les évènements :

• $P$, « La personne contactée s'abonne à la version papier »;
• $N$, « La personne contactée s'abonne à la version numérique ».

Une étude a montré que :

• la probabilité qu'une personne contactée s'abonne à la version papier est de 0,18 ;
• la probabilité qu'une personne contactée s'abonne à la version numérique est de 0,22 ;
• la probabilité qu'une personne contactée ne s'abonne à aucune des deux versions est de 0,73.

Pour chacune des personnes appelée par le centre, l'éditeur paie au centre d'appels :

• 1 € si la personne ne s'abonne pas 
• 5 € si la personne s'abonne seulement à la version numérique ;
• 6 € si la personne s'abonne seulement à la version papier ;
• 10 € si la personne s'abonne aux deux versions.

On appelle X la variable aléatoire indiquant la somme reçue par la plateforme d'appels pour une personne contactée.

1. Déterminer la loi de probabilité de X.
   Corrigé

   D'après la consigne, $P(X=1) = 0,83$.
   Le contraire de « la personne ne s'abonne pas » est « la personne s'abonne au moins à une version », soit $N\cup P$.
   Donc \[P(N\cup P) = 1 - 0,83 = 0,17.\] Or on sait que : \[\begin{aligned} P(N\cap P) &= P(N) + P(P) - P(N\cup P)&\\ &= 0,22 + 0,18 - 0,27&\\ &= 0,13.& \end{aligned}\] Donc $P(X=10) = 0,13$.
   La probabilité que la personne ne s'abonne qu'à la version papier est \[P(X=5) = 0,18 - 0,13 = 0,05.\] La probabilité que la personne ne s'abonne qu'à la version numérique est \[P(X=6) = 0,22 - 0,13 = 0,09.\] D'où la loi de $X$ : \[\begin{array}{|r|c|c|c|c|}\hline x_i & 1 & 5 & 6 & 10 \\ \hline \rule[-0.6em]{0em}{1.6em}P(X=x_i) & 0,83 & 0,05 & 0,09 & 0,13 \\ \hline \end{array}\]

2. Donner une estimation de la somme perçue par la plateforme si elle parvient à contacter 10 000 clients potentiels.
   Corrigé

   L'espérance est égale à : \[\begin{aligned} \operatorname E(X) &= 0,83 \times 1 + 0,05 \times 5 + 0,09 \times 6 + 0,13 \times 10&\\ &=2,92.& \end{aligned}\] Donc, en moyenne, chaque appel rapporte 2,92 €. On peut donc estimer que 10 000 appels rapporteront \[10 000\times 2,92 = 29 200\text{ €}.\]

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code : 182