EX-2.02

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Un jeu consiste à lancer simultanément une pièce équilibrée et un dé cubique équilibré.

• On gagne 10 points si on obtient « Pile » et un multiple de 3,
• on gagne 3 points si on obtient « Pile » mais pas de multiple de 3,
• on perd 5 points dans tous les autres cas.

On note X le nombre de points obtenus par le joueur à la fin d'une partie.

1. Interpréter l'évènement {X = −5} dans le contexte de ce jeu.
   Corrigé

   {X=−5} est l'événement « on a obtenu "face" avec la pièce ».

2. Calculer P(X≥4).
   Corrigé

   Une seule valeur de X est supérieure ou égale à 4 et c'est 10.
   De plus, pour obtenir 10, il faut tirer "pile" avec la pièce (probabilité $\frac 1 2$) et un nombre pair avec le dé (probabilité $\frac 2 6 = \frac 1 3$).
   Ces deux événements sont indépendants, donc : \[P(X\ge 4)= P(X=10) = \frac 1 2 \times \frac 1 3 = \frac 1 6.\]

3. Déterminer la loi de probabilité de X.
   Corrigé

   Loi de $X$ : \[\begin{array}{|r|c|c|c|}\hline x_i & -5 & 3 & 10 \\ \hline \rule[-.6em]{0em}{1.6em}P(X=x_i)& \frac 1 2 & \frac 1 2 \times \frac 2 3 = \frac 1 3& \frac 1 6 \\ \hline \end{array}\]

4. Calculer l'espérance de la variable aléatoire X.
   Corrigé

   Espérance de $X$ : \[\operatorname E(X) =\frac 1 2 (-5) + \frac 1 3(3) + \frac 1 6(10) =\frac 1 6.\]

5. Déterminer l'écart type de X.
   Corrigé

   Variance de $X$ : \[\begin{aligned} \operatorname V(X) &=\frac 1 2\left(-5 - \frac 1 6\right)^2&\\ &+ \frac 1 3\left(3 - \frac 1 6\right)^2&\\ &+\frac 1 6\left(10 - \frac 1 6\right)^2&\\ &=\frac{407}{12}.& \end{aligned}\] Donc l'écart type de $X$ est \[\sigma = \sqrt{\frac{407}{12}}.\]

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code : 181