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Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ non nul par
\[\left\{\begin{array}{l c l}
u_{1}& =&\dfrac{1}{2}\\
u_{n+1} &=& \dfrac{n+1}{2n}u_{n}
\end{array}\right.\]
1.
Calculer $u_{2}, u_{3}$ et $u_{4}$.
Corrigé
\begin{flalign*}
u_2 &= \dfrac{2}{2}\times \dfrac 1 2 = \dfrac 1 2;&
\\
u_3 &= \dfrac{3}{4} \times \dfrac 1 2 = \dfrac 3 8;&
\\
u_4 &= \dfrac 4 {6} \times \dfrac 3 8 = \dfrac 1 4.&
\end{flalign*}
2.a.
Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_{n}$ est strictement positif.
Corrigé
Procédons par récurrence.
La propriété s'initialise car $u_1 = \dfrac 1 2 > 0$.
Supposons que, pour $n$ donné, $u_n > 0$.
Puisque $n\geqslant 1$, $\dfrac{n+1}{2n} > 0$, donc
\[u_{n+1} =\dfrac{n+1}{2n}u_n >0.\]
La propriété est également héréditaire, donc on a montré par récurrence que pour tout
$n\geqslant 1$, $u_n > 0$.
2.b.
Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante.
Corrigé v. 1
Corrigé v. 2
Si $n\ge 1$ on a:
$\dfrac{n+1}{2n} \le \dfrac{n+n}{2n} =\dfrac{2n}{2n} = 1$.
$u_n$ étant positif, on a donc
\[u_{n+1} = \dfrac{n+1}{2n}u_n \leqslant u_n,\]
donc la suite $(u_n)$ est bien décroissante.
\[u_{n+1} -u_n = \frac{n+1}{2n} -\frac{2n}{2n}u_n = \frac{1-n}{2n}u_n.\]
Or $n\geqslant 1$ donc $1-n\leqslant 0$ et $2n > 0$, donc $u_{n+1}-u_n \leqslant 0$.
La suite $(u_n)$ est donc décroissante.
2.c.
Que peut-on en déduire pour la suite $\left(u_{n}\right)$ ?
Corrigé
La suite $(u_n)$ est décroissante mais minorée par 0, elle est donc convergente.
Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose
\[v_{n} = \dfrac{u_{n}}{n}.\]
3.a.
Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique.
On précisera sa raison et son premier terme $v_{1}$.
Corrigé
On remarque que si $v_n = \dfrac{u_n} n$, alors $u_n = nv_n$. On a :
\[v_{n+1} = \dfrac{u_{n+1}}{n+1} =\dfrac{\frac{n+1}{2n}u_n}{n+1} = \frac{nv_n}{2n} = \frac 1 2 v_n.\]
La suite $(v_n)$ est donc géométrique de raison $\dfrac 1 2$ et de premier terme
$v_1 = \dfrac{u_1}{1} = \dfrac 1 2$
3.b.
En déduire que, pour tout entier naturel $n$ non nul,
\[u_{n} = \dfrac{n}{2^n}.\]
Corrigé
Puisque $(v_n)$ est géométrique, on a pour tout $n\in\mathbb N^*$:
$v_n = \left(\dfrac 1 2\right)^{n-1} \times \dfrac 1 2 = \dfrac 1 {2^n}$.
On en déduit que :
\[u_n = nv_n = n\times \dfrac 1 {2^n} = \dfrac n {2^n}.\]
Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[1;+\infty[$ par
\[f(x) = \ln x - x \ln 2.\]
4.a.
Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
Corrigé
On peut écrire que $f(x) = x\left(\dfrac{\ln x} x - \ln 2\right)$.
Or $\displaystyle\lim_{x\to +\infty} \dfrac{\ln x} x = 0$,
donc $\displaystyle\lim_{x\to +\infty} \dfrac{\ln x} x - \ln 2 = -\ln 2 < 0$.
Puisque $\displaystyle\lim_{x\to +\infty} x = +\infty$,
on en déduit par produit que $\displaystyle\lim_{x\to +\infty} f(x) = -\infty$.
4.b.
En déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
Corrigé
On remarque que pour tout $n\in\mathbb N^*$:
\[\ln u_n = \ln\frac n{2^n} = \ln n -\ln 2^n = \ln n - n\ln 2 = f(n).\]
Or:
\begin{flalign*}
&\lim_{n\to +\infty} f(n) = -\infty&
\\ \implies
&\lim_{n\to +\infty} \ln u_n = -\infty&
\\ \implies
&\lim_{n\to +\infty} \mathrm e^{\ln u_n} = 0&
\\ \implies
&\lim_{n\to +\infty} u_n = 0.&
\end{flalign*}
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