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Pour tout réel $x>0$, on appelle logarithme décimal de $x$, noté $\log(x)$, le réel :
\[\log(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(10)}.\]
1.
Quelques propriétés du logarithme décimal.
a.
Montrer que pour tout réel strictement positif $x$ et tout entier relatif $n$ on a :
\[\log\left(x^n\right) = n\log(x).\]
Corrigé
Cette propriété découle immédiatement des propriétés du logarithme népérien.
En effet, pour tout $x\in\mathbb R_+^*$ et tout $n\in\mathbb Z$:
\[
\log\left(x^n\right)
=\frac{\ln\left(x^n\right)}{\ln(10)}
=\frac{n\ln(x)}{\ln(10)}
=n\times \frac{\ln(x)}{\ln(10)}
=n\log(x).
\]
b.
En déduire que pour tout entier relatif $n$:
\[\log\left(10^n\right) = n.\]
Corrigé
Puisque
\[\log(10) = \frac{\ln(10)}{\ln(10)} = 1\]
il vient immédiatement que
\[\log\left(10^n\right) = n\log(10) = n\times 1 = n.\]
2.
Une application.
a.
Montrer que tout nombre entier positif $N$ dont l'écriture décimale comporte $n$ chiffres est tel que :
\[n \le \log(N) < n + 1.\]
Corrigé
Si $N$ possède deux chiffres, $N$ est située entre 10 et 99, donc
\[10^1 \le N < 10^2.\]
Si $N$ possède trois chiffres, il est compris entre 100 et 999, donc
\[10^2 \le N < 10^3.\]
Généralisons. Si l'écriture décimale de $N$ comporte $n$ chiffres, alors :
\begin{flalign*}
&10^{n-1} \le N < 10^n&
\\ \iff
&\log\left(10^{n-1}\right) \le \log(N) < \log\left(10^n\right)&
\\ \iff
&n-1 \le \log(N)< n.&
\end{flalign*}
b.
Quel est le plus grand nombre entier que l'on puisse écrire en utilisant uniquement trois chiffres
(non, ce n'est pas 999).
Corrigé
$9^{9^9} = 9^{(9^9)}$ (qui dit mieux ?)
c.
Combien de chiffres comporte l'écriture décimale de ce nombre ?
Corrigé
Une calculatrice ordinaire est incapable de calculer ce nombre (même de manière approchée).
Remarquons cependant que
\begin{flalign*}
\log\left(9^{(9^9)}\right)
&= 9^9\log(9)&
\\
&= 387420489\times \log(9)&
\\
&\approx 369\:693\:099,632.&
\end{flalign*}
Donc d'après la question 1, puisque
\[369\:693\:099 \le \log\left(9^{9^9}\right) < 369\:693\:100,\]
l'écriture décimale de ce nombre comporte donc 369 693 100 chiffres.
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