Dans un repère orthonormé,

1. 1. $A$ est le point de coordonnées $(6\;;\;6,8)$.
      Calculer la distance $KA$.
      Corrigé
      \[\begin{aligned} KA &= \sqrt{(x_A-x_K)^2 + (y_A - y_K)^2}& \\ &=\sqrt{(6-5)^2 + (6,8 - 4)^2}& \\ &=\sqrt{1^2+2,8^2}& \\ &=\sqrt{8,84}.& \end{aligned}\]
   2. Le point $A$ appartient-il au cercle $\Gamma$ ?
      Corrigé
      $KA\neq 3$, donc $A\notin\Gamma$.
2. Dans chaque cas, dire si le point appartient au cercle $\Gamma$.
   • $B(5\;;\;7)$,
     Corrigé
     \[\begin{aligned} KB &=\sqrt{(5-5)^2 + (7-4)^2}& \\ &=\sqrt{0^2+3^2}& \\ &=\sqrt{3^2}& \\ &=3.& \end{aligned}\] Donc $B\in\Gamma$.
   • $C\left(7\;;\;4+\sqrt{5}\right)$,
     Corrigé
     \[\begin{aligned} KC &=\sqrt{(7-5)^2+\left(4+\sqrt 5 - 4\right)^2}& \\ &=\sqrt{2^2 + \left(\sqrt 5\right)^2}& \\ &=\sqrt{4+5}& \\ &=\sqrt{9}& \\ &=3.& \end{aligned}\] Donc $C\in\Gamma$.
   • $D(-2\;;\;4).$
     Corrigé
     \[\begin{aligned} KD=&\sqrt{(-2-5)^2 + (4-4)^2}& \\ &=\sqrt{(-7)^2}& \\ &=7.& \end{aligned}\] $KD\neq 3$ donc $D\notin\Gamma$.
3. $E$ est le point de coordonnées $(5\;;\;1)$.
   Le segment $[BE]$ est-il un diamètre de $\Gamma$ ?
   Corrigé
   Calculons les coordonnées du milieu de $[BE]$ \[\begin{aligned} \frac{x_B + x_E} 2 &=\frac{5+5} 2 = 5&\\ \frac{y_B+y_E} 2 &= \frac{7+1} 2 = 4& \end{aligned}\] Le milieu de $[BE]$ a pour coordonnées $(5\;;\;4)$, donc ce milieu est $K$, centre du cercle.
   On sait aussi déjà que $B$ est sur le cercle, donc $[BE]$ est bien un diamètre de $\Gamma$.

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