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Soient $f$ et $g$ les fonctions définies et continues sur $\mathbb R$ telles que:
\[f(x) = \dfrac{x}{1+x^2}\quad\text{et}\quad g(x) = \frac{x^3}{1+x^2}.\]
1.
On pose $I = \displaystyle\int_0^1 f(x)\mathrm dx$. Montrer que $I = \dfrac 12 \ln(2)$.
Corrigé
Posons $u(x) = 1 + x^2$. Alors $u$ est strictement positive et dérivable sur
$\mathbb R$ avec $u'(x) = 2x$.
Donc
\[f(x) = \frac{x}{1+x^2} = \frac 1 2 \times \frac{2x}{1+x^2} = \frac 12 \times \frac{u'(x)}{u(x)}.\]
$f$ admet donc pour primitive sur $\mathbb R$ la fonction $F$ définie par:
\[F(x) = \frac12\ln\left(u(x)\right) =\frac12\ln(x^2+1).\]
On en déduit que:
\[\begin{aligned}
I &= \int_0^1 f(x)\mathrm dx&
\\
&= \left[\frac12\ln(x^2+1)\right]_0^1&
\\
&= \frac12\ln(1^2+1) - \frac12\ln(0^2+1)&
\\
&= \frac12\ln(2).&
\end{aligned}\]
2.
On pose $J = \displaystyle\int_0^1 g(x)\mathrm dx$.
a.
Calculer $I+J$.
Corrigé
$I+J$ est égale à:
\begin{align*}
\int_0^1 f(x)\mathrm dx + \int_0^1 g(x)\mathrm dx
&= \int_0^1 \left( f(x) + g(x)\right)\mathrm dx&
\\
&=\int_0^1 \left(\frac x{1+x^2} + \frac{x^3}{1+x^2}\right)\mathrm dx&
\\
&=\int_0^1 \frac{x + x^3}{1+x^2}\mathrm dx.&
\\
&=\int_0^1 \frac{x\cancel{(1+x^2)}}{\cancel{1+x^2}}&
\\
&=\int_0^1 x\mathrm dx&
\\
&=\left[\frac{x^2}2\right]_0^1&
\\
&=\frac{1^2}2 - \frac{0^2} 2 = \frac 12.&
\end{align*}
b.
En déduire la valeur de $J$.
Corrigé
$I+J = \dfrac 12$ donc:
$J = \dfrac 12 - I = \dfrac 12 - \dfrac12\ln(2)$.
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