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On considère l'intégrale
\[I = \displaystyle\int_1^2 x^2\ln(x)\mathrm dx = \displaystyle\int_1^2 u(x)v'(x)\mathrm dx\]
où $u(x) = \ln(x)$ et $v'(x) = x^2$.
Démontrer à l'aide d'une intégration par parties que
\[I = \dfrac83\ln(2)-\dfrac79.\]
Corrigé
Puisque $u(x) = \ln(x)$ alors $u'(x) = \dfrac 1 x$.
Puisque $v'(x) = x^2$ alors $v(x) = \dfrac{x^3}3$.
$u'$ et $v'$ sont continues, donc la formule d'intégration par parties donne que
\begin{align*}
\int_1^2 u(x)v'(x)\mathrm dx
&=\big[u(x)v(x)\big]_1^2 - \int_1^2 u'(x)v(x)\mathrm dx&
\\
&=\left[\frac{x^3}3\ln(x)\right]_1^2 - \int_1^2 \frac 1 x \times \frac{x^3}3\mathrm dx&
\\
&=\frac{2^3\ln(2)}3 - \frac{1^3\ln(1)}3 - \int_1^2 \frac{x^2}3\mathrm dx&
\\
&=\frac{8\ln(2)}3 - \left[\frac{x^3}9\right]_1^2&
\\
&=\frac{24\ln(2)}9 - \frac{2^3}9 + \frac{1^3}9&
\\
&== \frac{\overset{8}{\cancel{24}}\ln(2)}{\underset{3}{\cancel{9}}} - \frac79&
\\
&=\boxed{\frac83\ln(2) - \frac79.}&
\end{align*}
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