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Calculer les intégrales suivantes:
1.
$I_1 = \displaystyle\int_{-1}^2 (-3x + 5)\mathrm dx$;
Corrigé
\begin{align*}
I_1 &= \int_{-1}^2 (-3x+5)\mathrm dx&
\\
&=\big[-\frac32x^2+5x\big]_{-1}^2&
\\
&=\left(-\frac32\times 2^2 +5\times 2\right) - \left(-\frac32(-1)^2+5(-1)\right)&
\\
&=-6 + 10 +\frac 32 +5&
\\
&=\frac{21}2.&
\end{align*}
2.
$I_2 = \displaystyle\int_0^1 (3x^2 - 2x)\mathrm dx$;
Corrigé
\[
I_2 = \int_0^1 (3x^2-2x)\mathrm dx
=\big[x^3 - x^2\big]_0^1
=1^3 - 1^2 - (0^3 - 0^2)
=0.
\]
3.
$I_3 = \displaystyle\int_0^{\ln(2)}(2x + \mathrm e^x)\mathrm dx$;
Corrigé
\begin{align*}
I_3 &= \int_0^{\ln(2)} (2x+\mathrm e^x)\mathrm dx&
\\
&=\big[x^2 + \mathrm e^x\big]_0^{\ln(2)}&
\\
&=(\ln(2))^2 + \mathrm e^{\ln(2)} - 0^2 - \mathrm e^0&
\\
&=(\ln(2))^2+2-1&
\\
&=(\ln(2))^2+1.&
\end{align*}
4.
$I_4 = \displaystyle\int_1^{\mathrm e} \frac 2 x\mathrm dx$;
Corrigé
\[
I_4 = \int_1^{\mathrm e} \frac 2 x\mathrm dx
=\big[2\ln(x)\big]_1^{\mathrm e}
=2\ln(\mathrm e) - 2\ln(1)
=2 - 0
=2.
\]
5.
$I_5 = \displaystyle\int_1^{\ln(2)}\mathrm e^{4t}\mathrm dt$;
Corrigé
\begin{align*}
I_5 &= \int_1^{\ln(5)} \mathrm e^{4t}\mathrm dt&
\\
&=\left[\frac 1 4\mathrm e^{4t}\right]_1^{\ln(2)}&
\\
&=\frac 1 4 \mathrm e^{4\ln(2)} - \frac 1 4 \mathrm e^{4\times 1}&
\\
&=\frac 1 4\left(\mathrm e^{\ln(2)}\right)^4 - \frac{\mathrm e^4}4&
\\
&=\frac 1 4 \times 2^4 - \frac{\mathrm e^4}4&
\\
&=\frac{16-\mathrm e^4}4.&
\end{align*}
6.
$I_6 = \displaystyle\int_{-1}^0 t^2\mathrm e^{t^3}\mathrm dt$.
Corrigé
\[
I_6 = \int_{-1}^0 t^2\mathrm e^{t^3}\mathrm dt
=\left[\frac{\mathrm e^{t^3}}{3}\right]_{-1}^0
=\frac{\mathrm e^{0^3}}3 - \frac{\mathrm e^{(-1)^3}}3
=\frac{1 - \mathrm e^{-1}}3.
\]
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