Corrigé du 15 P. 99

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a. On calcule que $\overrightarrow{NM}\begin{pmatrix}4 \\ -7 \\ -4\end{pmatrix}$ donc \[NM = \sqrt{4^2 + (-7)^2 + (-4)^2} =\sqrt{81} = 9.\] De même, on calcule que $\overrightarrow{NP}\begin{pmatrix}8 \\ -4 \\1\end{pmatrix}$ donc \[NP = \sqrt{8^2 + (-4)^2 + 1^2} = \sqrt{81} = 9.\] Puisque $NM = NP$, le triangle $MNP$ est bien isocèle en $N$.

b. Calculons $\overrightarrow{NM}\cdot\overrightarrow{NP}$: \[\overrightarrow{NM}\cdot\overrightarrow{NP} =4\times 8 - 7 \times (-4) - 4\times 1 = 56.\] Mais on peut aussi calculer ce produit avec un cosinus: \[\begin{aligned} MN \times NP \times \cos\widehat{MNP} &=\overrightarrow{MN}\cdot\overrightarrow{NP}& \\ \iff 9 \times 9 \times \cos\widehat{MBP}&=56 \\ \iff \cos\widehat{MBP}&=\frac{56}{81}& \end{aligned}\] Or, d'après la calculatrice : \[\widehat{MBP} = \arccos\left(-\frac{56}{81}\right) \approx 46,3°.\]

c. Le triangle $MNP$ étant isocèle en $N$, la hauteur issue de $N$ coupe le côté $[MP]$ en son milieu $I$.
L'aire du triangle est alors $\mathcal A = \dfrac 1 2 MP \times NI$.
Alors, $I$ a pour coordonnées \[\left(\frac{3+7}2;\frac{-4-1}2;\frac{-2+3}2\right) =\left(5 ; -\frac 5 2 ; \frac 1 2\right).\] On en déduit les coordonnées de $\overrightarrow{NI}$: \[\left(5+1;-\frac 5 2 - 3;\frac 1 2 - 2\right) =\left(6;-\frac{11}2;-\frac 3 2\right).\] Et finalement: \[NI = \sqrt{6^2 + \left(-\frac{11}2\right)^2 + \left(-\frac 3 2\right)^2} =\sqrt{\frac{274}4}=\frac{\sqrt{274}}2.\] D'autre part $\overrightarrow{MP}$ a pour coordonnées: \[\left(7-3;-1+4;3+2\right) = \left(4;3;5\right)\] Donc: \[MP = \sqrt{4^2 + 3^2 + 5^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt 2.\] Il ne reste qu'à calculer l'aire: \[\begin{aligned} \mathcal A &= \frac 1 2 \times 5\sqrt 2 \times \frac{\sqrt{274}} 2& \\ &=\frac {5 \sqrt 2 \times \sqrt{274}}4& \\ &=\frac {5 \times \sqrt 2 \times \sqrt 2 \times \sqrt{137}}4& \\ &=\frac {5 \times 2 \times \sqrt{137}}4& \\ &=\frac{4\sqrt{137}}2.& \end{aligned}\]

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