Corrigé du 11 P. 95

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a. $\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CD} =CA \times CD \times \cos\widehat{DCA} =3^2\cos\dfrac \pi 3 =\dfrac 9 2$.

b. $\overrightarrow{IJ}\cdot\overrightarrow{CD} =-\dfrac 1 2 \overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CD} =-\dfrac 9 4$.

c. $\overrightarrow{BJ}\cdot\overrightarrow{CI} =\dfrac 1 2 \overrightarrow{BC}\left(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BI}\right)$
$=-\dfrac 1 2 \overrightarrow{BC}^2 + \dfrac 1 2 \overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BI}$
$=-\dfrac 1 2 BC^2 + \dfrac 1 4 \overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{BA}$
$=-\dfrac 1 2 \times 3^2 + \dfrac 1 4 \times 3^2\times \cos\dfrac \pi 3$
$=-\dfrac 9 2 + \dfrac 9 8$
$= -\dfrac {27} 8$.

d (version 1). $\overrightarrow{JK}\cdot \overrightarrow{AD} =\left(\overrightarrow{JI}+\overrightarrow{IK}\right) \cdot \overrightarrow{AD}$
$=\overrightarrow{JI}\cdot\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{IK}\cdot\overrightarrow{AD}$
$=\dfrac 1 2 \overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{AD} +\dfrac 1 2 \overrightarrow{BD}\cdot \overrightarrow{AD}$
$=-\dfrac 1 2 \overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AD} +\dfrac 1 2 \overrightarrow{DB}\cdot\overrightarrow{DA}$
$=-\dfrac 1 2 \times 3^2 \times \cos \dfrac \pi 3 +\dfrac 1 2 \times 3^2 \times \cos \dfrac \pi 3$
$=0$.

d (version 2). $(BK)$ est une médiane du triangle équilatéral $BAD$, donc $\overrightarrow{AD}$ est orthogonal à $\overrightarrow{BK}$.
En considérant le triangle équilatéral $ACD$, on montre de même que $\overrightarrow{AD}$ est orthogonal à $\overrightarrow{CK}$.
Puisque $\left(\overrightarrow{BK},\overrightarrow{CK}\right)$ est une base du plan $(BCK)$, $\overrightarrow{AD}$ est un vecteur normal au plan $(BCK)$.
Il est donc orthogonal à tout vecteur représenté dans ce plan, donc en particulier au vecteur $\overrightarrow{JK}$.
On a donc bien \[\overrightarrow{JK}\cdot \overrightarrow{AD} = 0.\]

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