Corrigé du 50 P. 477

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a. Puisque le tirage est assimilé à un tirage avec remise, il consiste en la répétition $n$ fois, de manière indépendante, d'un schéma de Bernoulli de probabilité de réussite $0,07$.
On a donc bien $D_n\hookrightarrow\mathcal B(n;0,07)$.

b. $D_n$ donne le nombre d'assiettes ayant un défaut dans un lot de $n$ assiettes. Le nombre moyen d'assiettes ayant un défaut est donc bien $\dfrac{D_n}n$.

L'événement étudié ici est \[\begin{aligned} &\left\{0,04 \leqslant \frac{D_n}n \leqslant 0,1\right\}& \\ \iff &\left\{0,04 - 0,07 \leqslant \frac{D_n}n - 0,07 \leqslant 0,1 - 0,07\right\}& \\ \iff &\left\{-0,03 \leqslant \frac{D_n}{n} - 0,07 \leqslant 0,03\right\}& \\ \iff &\left\{\left\lvert \frac{D_n} n - 0,07\right\rvert \leqslant 0,03\right\}& \end{aligned}\] On souhaite que cet événement ne se produise pas plus de 98 % du temps, donc que \[P\left(\left\lvert \frac{D_n} n - 0,07\right\rvert \leqslant 0,03\right) \leqslant 0,02.\]

c. $D_n$ suit une loi binomiale donc \[ \operatorname E(D_n) = 0,07n \implies \operatorname E\left(\frac{D_n}n\right) = \frac{0,07n}{n} = 0,07. \] \[\begin{aligned} \operatorname V(D_n) &= 0,07\times 0,93n = 0,0651n& \\ \implies \operatorname V\left(\frac{D_n}n\right) &=\left(\frac 1 n\right)^2\times 0,0651n = \frac{0,0651n}{n^2} =\frac{0,0651}n.& \end{aligned}\] L'inégalité de Bienaymé-Tchebichev affirme que: \[\begin{aligned} P\left(\left\lvert \frac{D_n}{n} - \operatorname E\left(\frac{D_n}n\right)\right\rvert \geqslant 0,03\right) &\leqslant \frac{\operatorname V\left(\frac{D_n}n\right)}{0,03^2}& \\ \implies P\left(\left\lvert \frac{D_n}{n} - 0,07\right\rvert \geqslant 0,03\right) &\leqslant \frac{0,0651}{0,0009n}& \\ \implies P\left(\left\lvert \frac{D_n}{n} - 0,07\right\rvert \geqslant 0,03\right) &\leqslant \frac{72,34}{n}& \end{aligned}\] On souhaite donc que \[\begin{aligned} \frac{72,34}{n} &\leqslant 0,02& \\ \iff \frac{72,34}{0,02} &\leqslant n& \\ \iff 3617 &\leqslant n.& \end{aligned}\] Donc on peut prendre toute valeur de $n$ supérieure ou égale à 3617.

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