Corrigé du 45 P. 476

retour

a. Notons $X$ la variable aléatoire associée à un lancer de dé. \[\begin{aligned} \operatorname E(X) &= \frac1 6 \times 1 + \cdots + \frac16\times6 = 3,5.& \\ \operatorname V(X) &=\frac16(1-3,5)^2 + \cdots+\frac16(6-3,5)^2 = \frac{35}{12}.& \end{aligned}\] Donc : \[\begin{aligned} \operatorname E(M_n) &= E(X) = 3,5.& \\ \operatorname V(M_n) &=\frac 1 n \operatorname V(X) = \frac{35}{12n}.& \end{aligned}\]

b. L'inégalité de Bienaymé-Tchebichev établit que: \[\begin{aligned} P(\lvert M_n - \operatorname E(M_n)\rvert \geqslant 0,4) &\leqslant \frac{\operatorname V(X)}{0,4^2}& \\ \implies P(\lvert M_n - 3,5\rvert \geqslant 0,4) &\leqslant \frac{35}{12n\times 0,16}& \\ \implies P(\lvert M_n - 3,5\rvert \geqslant 0,4) &\leqslant \frac{875}{48n}& \end{aligned}\] On souhaite donc avoir \[\begin{aligned} \frac{875}{48n} &\leqslant 0,1& \\ \iff 875 &\leqslant 4,8n& \\ \iff \frac{875}{4,8} &\leqslant n.& \end{aligned}\] Or $\frac{875}{4,8} \approx 182,29$ et $n$ est un entier, donc le plus petit entier $n$ qui satisfasse cette condition est $n=183$.

c. Si l'on jette le dé au moins 183 fois (bon courage!), on est assuré que la probabilité que l'écart entre l'espérance moyenne sur l'ensemble de ces lancers et 3,5 dépasse 0,4 est inférieure à 0,1.

retour