Corrigé du 41 P. 476

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a. \[\begin{aligned} \operatorname E(X) &= 320 \times 0,65 = 208.& \\ \operatorname V(X) &= 320 \times 0,65 \times 0,35 = 72,8.& \end{aligned}\] Donc d'après l'inégalité de concentration \[\begin{aligned} P(\lvert M_n - \operatorname E(X)\rvert \geqslant 15) &\leqslant \frac{\operatorname V(X)}{n\times 15^2}& \\ \implies P(\lvert M_n - 208\rvert \geqslant 15) &\leqslant \frac{72,8}{225n}& \\ \implies P(\lvert M_n - 208\rvert \geqslant 15) &\leqslant \frac{364}{1125n}.& \end{aligned}\]

b. \[\begin{aligned} \operatorname E(X) &= 0,478.& \\ \operatorname V(X) &= 0,478\times (1-0,478) = 0,249516.& \end{aligned}\] D'autre part: \[\begin{aligned} &P(\overline{0,4 > M_n > 0,556})& \\ =&P(\overline{0,478 - 0,078 > M_n > 0,478 + 0,078})& \\ =&P(\overline{\lvert M_n - 0,478\rvert > 0,078})& \\ =&P(\lvert M_n - \operatorname E(X)\rvert) \geqslant 0,078.& \end{aligned}\] Donc selon l'inégalité de concentration \[\begin{aligned} P(\lvert M_n - \operatorname E(X)\rvert \geqslant 0,078) &\leqslant \frac{\operatorname V(X)}{0,078^2n}& \\ \implies P(\lvert M_n - \operatorname E(X)\rvert \geqslant 0,078) &\leqslant \frac{0,249516}{6,084\times 10^{-3}n}& \\ \implies P(\lvert M_n - \operatorname E(X)\rvert \geqslant 0,078) &\leqslant 41,01\times \frac 1 n.& \end{aligned}\]

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