Corrigé du 40 P. 476

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1.a. \[\begin{aligned} \operatorname E(X)&=np = 80\times 0,8 = 64.& \\ \operatorname V(X)&=np(1-p) = 80\times 0,8 \times 0,2 = 12,8.& \end{aligned}\] Donc selon l'inégalité de Bienaymé-Tchebichev: \[\begin{aligned} P(\lvert Z - \operatorname E(Z)\lvert \geqslant 5) &\leqslant \frac{\operatorname V(Z)}{5^2}& \\ \iff P(\lvert Z - 64\rvert \geqslant 5) &\leqslant \frac{12,8}{25}& \\ \iff P(\lvert Z - 64\rvert \geqslant 5) &\leqslant 0,512.& \end{aligned}\]

1.b. \[\begin{aligned} \operatorname E(Y) &= np = 120 \times 0,4 = 48.& \\ \operatorname V(Y) &= np(1-p) = 120 \times 0,4 \times 0,6 = 28,2.& \end{aligned}\] On remarque que: \[40 = 48 - 8 = \operatorname E(Y)-8 \ \text{et}\ 56 = 48 + 8 = \operatorname E(Y) + 8.\] Cela nous conduit à: \[\begin{aligned} &40 < Y < 56& \\ \iff &48 - 8 < Y < 48 + 8& \\ \iff &-8 < Y - 8 < +8& \\ \iff &\lvert Y - \operatorname E(Y) \rvert < 8.& \end{aligned}\] On peut donc mettre "au format" de l'inégalité de Bienaymé-Tchebichev notre événement. \[\{\overline{40 < Y < 56}\} = \{\lvert Y - \operatorname E(Y)\rvert \geqslant 8\}.\] Et en appliquant l'inégalité: \[\begin{aligned} P(\lvert Y - \operatorname E(Y)\rvert \geqslant 8) &\leqslant \frac{\operatorname V(Y)}{8^2}& \\ P(\lvert Y - \operatorname E(Y)\rvert \geqslant 8) &\leqslant \frac{28,8}{64}& \\ P(\lvert Y - \operatorname E(Y)\rvert \geqslant 8) &\leqslant 0,45.& \end{aligned}\]

1.c. La variable prend de manière équiprobable 7 valeurs donc: \[\begin{aligned} \operatorname E(T) &=\frac 1 7 \times (-3) + \cdots + \frac 1 7 \times 3 = 0.& \\ \operatorname V(T) &= \frac 1 7\times(-3)^2 + \cdots + \frac 1 7 \times 3^2 = 4.& \end{aligned}\] D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebichev: \[\begin{aligned} P(\lvert T - \operatorname E(T)\rvert \geqslant 1) &\leqslant \frac{\operatorname V(T)}{1^2}& \\ \iff P(\lvert T - 0\rvert \geqslant 1) &\leqslant \frac{4}{1}& \\ \iff P(\lvert T\rvert \geqslant 1) &\leqslant 4.& \end{aligned}\] (Une probabilité ne pouvant dépasser 1, l'inégalité de Bienaymé-Tchebichev ne nous apporte ici aucune information intéressante.)

2.a. \begin{align*} p &= P(\lvert Z - \operatorname E(Z)\lvert \geqslant 5)& \\ &=P(\lvert Z - 64\rvert \geqslant 5)& \\ &=P(Z\leqslant 64 - 5) + P(Z\geqslant 64+5)& \\ &=P(Z\leqslant 59) + P(Z\geqslant 69)& \\ &=P(Z\leqslant 59) + 1 - P(\leqslant 68).& \end{align*} Donc selon la calculatrice: \[p \approx 0,1066 + 1 - 0,8994 \approx 0,2072.\] C'est environ deux fois moins que la majoration obtenue.

2.b. \begin{align*} p &=P\left(\overline{40<Y<56}\right)& \\ &=P(Y \leqslant 40) + P(Y \geqslant 56)& \\ &=P(Y\leqslant 40) + 1 - P(Y \leqslant 55).& \end{align*} Donc d'après la calculatrice: \[p \approx 0,08006 + 1 - 0,91814 \approx 0,16192.\] C'est environ trois fois moins que la majoration obtenue.

2.c. \[p=P(\lvert T \rvert \geqslant 1) =P(T\in\{-3;-2;-1;1;2;3\}) =6\times \frac 1 7 = \frac 6 7. \] C'est très inférieur à 4. (On pouvait s'en douter!)

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