Corrigé du 9 P. 469

retour

\[\operatorname E(W) =\frac14(-2)+\frac14(-1)+\frac14\times0+\frac14\times1 =-\frac12.\] Et \begin{align*} \operatorname V(W)= &{\small \frac14\left(-2+\frac12\right)^2 + \frac14\left(-1+\frac12\right)^2 + \frac14\left(0+\frac12\right)^2 +\frac14\left(1+\frac12\right)^2}& \\ &=\frac 5 4.& \end{align*} Donc l'inégalité de concentration (avec $t=0,1$) s'écrit: \[ \begin{aligned} P(\lvert M_n - \operatorname E(X)\rvert \geqslant 0,1) &\leqslant \frac{\operatorname V(X)}{n\times 0,1^2}& \\ \iff P(\lvert M_n + 0,5\rvert \geqslant 0,1) &\leqslant \frac{500}{4n}& \\ \iff P(\lvert M_n + 0,5\rvert \geqslant 0,1) &\leqslant \frac{125}{n}& \end{aligned} \] Donc l'inégalité de concentration nous assurera du résultat voulu dès lors que: \[\frac{125}{n}\leqslant 0,04 \iff \frac{125}{0,04} \leqslant n \iff 3125 \leqslant n.\]

retour