Corrigé du 8 P. 469

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a. L'espérance de $Z$ est \[\operatorname E(Z) = np = 300\times 0,27 = 81.\] et sa variance est \[\operatorname V(Z) = np(1-p) = 81\times 0,73 = 59,13.\] D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebichev ($t=\sqrt{300}$): \[\begin{aligned} P(\lvert Z - \operatorname E(Z)\rvert \geqslant \sqrt{300} ) &\leqslant \frac{\operatorname V(Z)}{\left(\sqrt{300}\right)^2}& \\ \iff P(\lvert Z - 81\rvert \geqslant \sqrt{300})&\leqslant \frac{59,13}{300}& \\ \iff P(\lvert Z - 81\rvert \geqslant \sqrt{300})&\leqslant 0,1971.& \end{aligned}\]

b. On peut réaliser le programme suivant:

from random import random from math import sqrt def binomiale(n,p): X = 0 for i in range(n): if random()<=p: X = X+1 return X def ex8p469(taille): T = 0 for i in range(taille): X = binomiale(300,0.27) if abs(X-81)>=sqrt(300): T = T+1 return T/taille

En l'exécutant, j'ai obtenu une valeur voisine de $0,022$.

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