Corrigé du 7 P. 467

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a. Puisqu'il y a équiprobabilité, chaque issue a pour probabilité $\dfrac 1 5$. \[\begin{aligned} \operatorname E(A) &=\frac15\times 10 + \frac15\times15 + \frac15\times20+\frac15\times25+\frac15\times30& \\ &=2+3+4+5+6& \\ &=20.& \end{aligned}\] \[\begin{aligned} \operatorname V(A) &=\frac15(10-20)^2 + \frac15(15-20)^2+\frac15(20-20)^2& \\ &\qquad+\frac15(25-20)^2+\frac15(30-20)^2& \\ &=20+5+0+5+20 =50.& \end{aligned}\] On en déduit que \[\sigma(A) = \sqrt{50} = 5\sqrt2.\]

b. On a \[M_{100} = \frac 1 {100}(A_1+A_2+\cdots+A_{100})\] où $A_1$, $A_2$, \ldots $A_{100}$ sont les variables aléatoires associées aux 100 expériences de l'échantillon. Ces variables aléatoires sont indépendantes et ont la même loi que $A$.
Donc \[\begin{aligned} \operatorname E(M_{100}) &= \operatorname E\left(\frac 1 {100}(A_1 + A_2 + \cdots + A_{100})\right)& \\ &=\frac 1 {100} \operatorname E(A_1 + A_2 + \cdots + A_{100})& \\ &=\frac 1 {100} \left(\operatorname E(A_1) + \operatorname E(A_2) + \cdots + \operatorname E(A_{100})\right)& \\ &=\frac 1 {100} \times 100\operatorname E(A)& \\ &=\operatorname E(A) =20.& \end{aligned}\] (On rappelle que $A_1$, $A_2$ … $A_{100}$ sont indépendantes.) \[\begin{aligned} \operatorname V(M_{100}) &=\operatorname V\left(\frac 1 {100}(A_1+A_2 + \cdots + A_{100})\right)& \\ &=\left(\frac 1 {100}\right)^2\operatorname V(A_1+A_2+\cdots + A_{100})& \\ &=10^{-4}\left(\operatorname V(A_1) + \operatorname V(A_2) + \cdots + \operatorname V(A_{100})\right)& \\ &=10^{-4}\times 100\operatorname V(A)& \\ &=0,01\operatorname V(A)& \\ &=0,01\times 50 = 0,5.& \end{aligned}\] On en déduit que \[\sigma(M_{100}) = \sqrt{\operatorname V(M_{100})} = \sqrt{\frac 1 2} = \frac{\sqrt 2}2.\]

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