Corrigé du 88 P. 453

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a. La loi de $G$ est donnée par \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline g_i & -2 & 0 & 1 & 8 \\ \hline P(G=g_i) & 0,5 & 0,3 & 0,15 & 0,05 \\ \hline \end{array}\]

b. L'espérance de $G$ est \[ \operatorname E(G) = 0,5\times(-2) + 0,3\times 0 + 0,15\times 1 + 0,05 \times 8 =-0,45. \] Sa variance est donc \[\begin{aligned} \operatorname V(X) &=0,5(-2+0,45)^2 + 0,3(0+0,45)^2 + 0,15(1+0,45)^2& \\ &\qquad+ 0,05(8+0,45)^2& \\ &=5,1474.& \end{aligned}\]

c. Notons $G_1$, $G_2$, …, $G_{50}$ les variables aléatoires associées au gain obtenu avec chacun des cinquante tickets.
Le gain moyen sur les cinquante tickets est \[\begin{aligned} \operatorname E\left(\frac{S}{50}\right) &=\frac 1 {50} \operatorname E\left(S\right)& \\ &=\frac 1 {50} \operatorname E(G_1 + G_2 +\cdots + G_{50})& \\ &=\frac 1 {50} \left(\operatorname E(G_1) + \operatorname E(G_2) + \cdots + \operatorname E(G_{50})\right)& \\ &=\frac 1 {50}\times 50\operatorname E(G)& \\ &=\operatorname E(G) =-0,45.& \end{aligned}\]

d. L'écart type pour $G$ est \[\sigma(G) = \sqrt{\operatorname V(G)} = \sqrt{5,1475}\approx 2,269.\] La variance de $\frac{S}{50}$ est : \[\begin{aligned} \operatorname V\left(\frac{S}{50}\right) &=\operatorname V\left(\frac 1 {50}S\right)& \\ &=\left(\frac 1 {50}\right)^2\operatorname V(G_1 + G_2 + \cdots + G_{50})& \\ &=\frac 1 {2500}\left(\operatorname V(G_1) + \operatorname V(G_2) + \cdots + \operatorname V(G_{50})\right)& \\ &=\frac 1 {2500}\times 50\times\operatorname V(G)& \\ &=\frac 1 {50} \times 5,1475 =0,10295.& \end{aligned}\] Donc l'écart type de $\frac S{50}$ est \[\sigma\left(\frac{S}{50}\right) = \sqrt{0,10295} \approx 0,3209.\] L'écart type de la moyenne de cinquante tirages est bien inférieur à celui d'un seul tirage. L'augmentation du nombre de tickets réduit (en moyenne) la variation dû au hasard.

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