Corrigé du 77 P. 452

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a. \[ \operatorname E(A) = \operatorname E(X) + \operatorname E(Y) = 0 - 2 = -2. \] Les variables aléatoires $X$ et $Y$ sont indépendantes donc \[ \operatorname V(A) = \operatorname V(X) + \operatorname V(Y) = 3 + 1 =4. \] Donc \[ \sigma(A) = \sqrt{\operatorname V(A)} = \sqrt 4 = 2. \]

b. \[ \operatorname E(B) = \operatorname E(X) + \operatorname E(-Z) =\operatorname E(X) - \operatorname E(Z) =0 - 1 =-1. \] Les variables aléatoires $X$ et $Z$ sont indépendantes donc il en va de même pour $X$ et $-Z$: \[ \operatorname V(B) = \operatorname V(X) + \operatorname V(-Z) =\operatorname V(X) + (-1)^2\operatorname V(Z) = 3 + 2 = 5. \] Donc \[\sigma(B) = \sqrt{\operatorname V(B)} = \sqrt 5.\]

c. \[ \operatorname E(C) = \operatorname E(2Z) = 2\operatorname E(Z) = 2\times 1 = 2.\] \[\operatorname V(C) = \operatorname V(2Z) = (2)^2\operatorname V(Z) = 4\times 2 = 8.\] Donc : \[\sigma(C) = \sqrt{\operatorname V(C)} = \sqrt{8} = 2\sqrt 2.\]

d. \[\begin{aligned} \operatorname E(D) &= \operatorname E(2Y) + \operatorname E(3Z)& \\ &=2\operatorname E(Y) + 3\operatorname E(Z)& \\ &=2\times (-2) + 3\times 1& \\ &= -1.& \end{aligned}\] Les variables $Y$ et $Z$ étant indépendantes, il en va de même pour $2Y$ et $3Z$: \[\begin{aligned} \operatorname V(D) &= \operatorname V(2Y + 3Z)& \\ &=\operatorname V(2Y) + \operatorname V(3Z)& \\ &=2^2\operatorname V(Y) + 3^2\operatorname V(Z)& \\ &=4\times 1 + 3\times 2 = 10.& \end{aligned}\] Donc : \[\sigma(D) = \sqrt{\operatorname V(D)} = \sqrt{10}.\]

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