Corrigé du 138 P. 389

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a. \begin{align*} I_0 &= \int_0^{\frac{\pi}2}\mathrm e^0\sin(x)\mathrm dx& \\ &=\int_0^{\frac{\pi}2}\sin(x)\mathrm dx& \\ &=\big[-\cos(x)\big]_0^{\frac{\pi}2}& \\ &=\cos\left(\frac{\pi}2\right) + \cos(0)& \\ &= 0 + 1 = 1.& \end{align*} \begin{align*} J_0 &=\int_0^{\frac{\pi}2}\mathrm e^0\cos(x)\mathrm dx& \\ &=\int_0^{\frac{\pi}2}\cos(x)\mathrm dx& \\ &=\big[\sin(x)\big]_0^{\frac{\pi}2}& \\ &=\sin\left(\frac{\pi}2\right) - \sin(0)& \\ &=1 - 0 =1.& \end{align*}

b. Posons: \begin{align*} u(x)&=\mathrm e^{-nx}&\qquad u'(x)&=-n\mathrm e^{-nx}& \\ v'(x)&=\sin(x)&\qquad v(x)&=-\cos(x).& \end{align*} Alors: \begin{align*} I_n &=\int_0^{\frac{\pi}2} u(x)v'(x)\mathrm dx& \\ &=\big[u(x)\times v(x)\big]_0^{\frac{\pi}2} - \int_0^{\frac{\pi}2} u'(x)v(x)\mathrm dx& \\ &=\big[-\mathrm e^{-nx}\cos(x)\big]_0^{\frac{\pi}2} - \int_0^{\frac{\pi}2}-n\mathrm e^{-nx}\cos(x)\mathrm dx& \\ &= -\mathrm e^{-n\frac{\pi}2}\cos\left(\frac{\pi}2\right) + \mathrm e^{-n\times 0}\cos(0) +n\int_0^{\frac{\pi}2} \mathrm e^{-nx}\cos(x)\mathrm dx& \\ &= -0 + 1 + nJ_n = 1+J_n.& \end{align*} Posons de même: \begin{align*} u(x)&=\mathrm e^{-nx}&\qquad u'(x)&=-n\mathrm e^{-nx}& \\ v'(x)&=\cos(x)&\qquad v(x) &=\sin(x)& \end{align*} Alors: \begin{align*} J_n &= \int_0^{\frac{\pi}2} u(x)v'(x)\mathrm dx& \\ &=\big[u(x)v(x)\big]_0^{\frac{\pi}2} - \int_0^{\frac{\pi}2} u'(x)v(x)\mathrm dx& \\ &=\big[\mathrm e^{-nx}\big]_0^{\frac{\pi}2} - \int_0^{\frac{\pi}2}-n\mathrm e^{-nx}\sin(x)\mathrm dx& \\ &= \mathrm e^{-n\frac{\pi}2}\sin\left(\frac{\pi}2\right) - \mathrm e^{-n\times 0}\sin(0) + n\int_0^{\frac{\pi}2} \mathrm e^{-nx}\sin(x)\mathrm dx& \\ &= \mathrm e^{-n\frac{\pi} 2} - 0 + nI_n& \end{align*} On a donc: \[ J_n =\mathrm e^{-n\frac{\pi}2} + nI_n \iff -nI_n + J_n = \mathrm e^{-n\frac{\pi}2}. \]

c. De la première égalité on déduit que: \[I_n + nJ_n = 1 \iff I_n = 1 - nJ_n.\] Substituons cette valeur de $I_n$ dans la deuxième relation: \begin{align*} -nI_n + J_n &= \mathrm e^{-n\frac{\pi}2}& \\ \iff -n(1 - nJ_n) + J_n &=\mathrm e^{-n\frac{\pi}2}& \\ \iff -n + n^2J_n + J_n &=\mathrm e^{-n\frac{\pi}2}& \\ \iff (n^2+1)J_n &= n + \mathrm e^{-n\frac{\pi}2}& \\ \iff J_n &=\frac{n+ \mathrm e^{-n\frac{\pi}2}}{n^2+1}& \end{align*} Reprenons la première relation: \begin{align*} I_n &= 1 - nJ_n& \\ &=1 - \frac{n^2 + n\mathrm e^{-n\frac{\pi}2}}{n^2+1}& \\ &=\frac{n^2+1 - n^2 - n\mathrm e^{-n\frac{\pi}2}}{n^2+1}& \\ &=\frac{1-n\mathrm e^{-n\frac{\pi}2}}{n^2+1}.& \end{align*}

d. Pour tout $n\neq 0$: \[I_n = \frac{n\left(\frac 1 n - \mathrm e^{-n\frac{\pi}2}\right)}{n^2\left(1+\frac 1 {n^2}\right)} =\frac 1 n \times \frac{\frac 1 n - \mathrm e^{-n\frac\pi 2}}{1+\frac 1{n^2}}.\] Or $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\mathrm e^{-n\frac{\pi}2} = 0$ et $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} \dfrac 1 n = 0$ donc \[\lim_{n\to+\infty} \frac 1 n - \mathrm e^{-n\frac{\pi}2} = 0.\] De même, $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} \dfrac 1 {n^2} = 0$ donc \[\lim_{n\to+\infty} 1+ \frac 1 {n^2} = 1.\] Donc : \[\lim_{n\to+\infty}\frac{\frac 1 n - \mathrm e^{-n\frac{\pi}2}}{1+\frac 1 {n^2}} = 0.\] Et puisque $\dfrac 1 n$ tend aussi vers $0$: \[\lim_{n\to+\infty} I_n = 0.\] La première relation permet d'affirmer que \[J_n = \frac{1-I_n}n.\] Donc \[\lim_{n\to+\infty} I_n = 0 \implies \lim_{n\to+\infty} \frac{1-I_n} n = \frac 1 {(+\infty)} =0.\]

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