Corrigé du 130 P. 388

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Posons $u(x) = -\dfrac{x^2} 2$, alors $u'(x) = -x$. Alors \[2x\mathrm e^{-\frac{x^2}2} = -2(-x)\mathrm e^{-\frac{x^2}2} = -2u'(x)\mathrm e^{u(x)}.\] Une primitive $F$ de $f$ sur $\mathbb R$ est donc définie par \[F(x) = -2\mathrm e^{u(x)} = -2\mathrm e^{-\frac{x^2}2}.\] La fonction $f$ est négative sur $[-1;0]$ et positive sur $[0;2]$, donc l'aire cherchée est donnée par \[ \begin{aligned} \mathcal A &= -\int_{-1}^0f(x)\mathrm dx + \int_0^2f(x)\mathrm dx& \\ &=-\left(F(0) - F(-1)\right) + \left(F(2) - F(0)\right)& \\ &=F(1)+F(2) - 2F(0)& \\ &=-2\mathrm e^{-\frac 4 2} - 2\mathrm e^{-\frac 1 2} -2\left(-2\mathrm e^0\right)& \\ &=-2\mathrm e^{-2} - 2\mathrm e^{-\frac 1 2} + 4.& \end{aligned} \]

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