Corrigé du 128 P. 388

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a. Posons : \begin{align*} u(x)&=x^2&\qquad u'(x)&=2x& \\ v'(x)&=\mathrm e^x&\qquad v(x) &=\mathrm e^x.& \end{align*} Alors en intégrant par parties \begin{align*} I &=\int_0^{\frac{\pi}2} u(x)v(x)\mathrm dx& \\ &=\big[u(x)v(x)\big]_0^{\frac{\pi}2} - \int_0^{\frac{\pi}2} u'(x)v(x)\mathrm dx& \\ &=\big[\sin(x)\mathrm e^x\big]_0^{\frac{\pi}2} - \int_0^{\frac{\pi}2}\cos(x)\mathrm e^x\mathrm dx& \\ &=\sin\left(\frac{\pi}2\right)\mathrm e^{\frac{\pi}2} - \sin(0)\mathrm e^0 - J& \\ &=\mathrm e^{\frac{\pi}2} - J.& \end{align*} Posons \begin{align*} u(x)&=\cos(x)&\qquad u'(x)&=-\sin(x)& \\ v'(x)&=\mathrm e^x&\qquad v(x)=\mathrm e^x.& \end{align*} On peut procéder à l'intégration par parties \begin{align*} J &=\int_0^{\frac{\pi}2}\mathrm e^x\cos(x)\mathrm dx& \\ &=\int_0^{\frac{\pi}2} u(x)v'(x)\mathrm dx& \\ &=\big[u(x)v(x)\big]_0^{\frac{\pi}2} - \int_0^{\frac{\pi}2} u'(x)v(x)\mathrm dx& \\ &=\big[\mathrm e^x\cos(x)\big]_0^{\frac{\pi}2} - \int_0^{\frac{\pi}2} -\sin(x)\mathrm e^x\mathrm dx& \\ &=\mathrm e^{\frac{\pi}2}\cos\left(\frac{\pi}2\right) - \mathrm e^0\cos(0) + \int_0^{\frac{\pi}2}\sin(x)\mathrm e^x\mathrm dx& \\ &=\mathrm e^{\frac{\pi}2}\times 0 - 1\times 1 + I& \\ &=-1+I.& \end{align*} Donc : \[J = -1 +I \iff I = J + 1.\]

b. \begin{align*} I &= \mathrm e^{\frac{\pi}2} - J = \mathrm e^{\frac{\pi}2} - I + 1& \\ \iff 2I&= \mathrm e^{\frac{\pi}2} + 1& \\ \iff I &=\frac{\mathrm e^{\frac{\pi}2} + 1}2.& \end{align*} Et donc \[J = -1 + I = -1 + \frac{\mathrm e^{\frac{\pi}2} + 1}{2} =\frac{-2 + \mathrm e^{\frac{\pi}2} + 1}{2} =\frac{\mathrm e^{\frac{\pi}2} - 1}{2}. \]

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