Corrigé du 103 P. 386

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a. Quand $x$ est positif: \begin{align*} &x\geqslant 0& \\ \implies &3x\geqslant 0& \\ \implies &3x + 2\geqslant 2& \\ \implies &3x + 2 > 0& \\ \implies &\frac 1 {3x+2} > 0.& \end{align*} La fonction est positive sur $[0;1]$ et les bornes de l'intégrale sont en ordre croissant, donc \[\int_0^1 \frac 1 {3x+2}\mathrm dx \ge 0.\]

b. Si $t\in\left[\dfrac 1 3;\dfrac 1 2\right]$ alors $t>0$;
$t < 1$ donc $\ln(t) < 0$.
Donc finalement $t\ln(t) < 0$.
Les bornes de l'intégrale sont croissantes mais la fonction est négative, donc \[\int_{\frac 1 3}^{\frac 1 2} t\ln(t)\:\mathrm dt \le 0.\]

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