Corrigé du 90 P. 385

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a. Pour tout réel $x$: \[\begin{aligned} &1 - \frac{\mathrm e^x}{\mathrm e^x + 1}& \\ =&\frac{\mathrm e^x + 1-\mathrm e^x}{\mathrm e^x + 1}& \\ =&\frac 1 {\mathrm e^x + 1}& \\ &=f(x).& \end{aligned}\]

b. Pour tout réel $x$, \begin{align*} &\mathrm e^x > 0& \\ \implies &\mathrm e^x + 1 > 1& \\ \implies &\mathrm e^x + 1 > 0& \\ \implies &\frac 1 {\mathrm e^x + 1} > 0& \\ \implies &f(x) > 0.& \end{align*} Donc l'aire cherchée est donnée par l'intégrale \[\int_0^1 f(x)\mathrm dx = \int_0^1\left(1-\frac{\mathrm e^x}{\mathrm e^x +1}\right)\mathrm dx.\] Posons $u(x) = \mathrm e^{x}+1$, alors $u'(x) = \mathrm e^x$. Donc la fonction \[x\mapsto \frac{\mathrm e^x} {\mathrm e^x + 1} = \frac{u'(x)}{u(x)}\] admet pour primitive sur $\mathbb R$: \[x\mapsto \ln\left[u(x)\right] = \ln\left(\mathrm e^x + 1\right).\] Donc: \begin{align*} \int_0^1\left(1 - \frac{\mathrm e^x}{\mathrm e^x + 1}\right)\mathrm dx &=\big[x-\ln\left(\mathrm e^x + 1\right)\big]_0^1& \\ &=1 - \ln\left(\mathrm e^1 + 1\right) - 0 + \ln\left(\mathrm e^0+1\right)& \\ &=1-\ln(\mathrm e + 1) + \ln(2).& \end{align*}

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