Corrigé du 89 P. 385

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a. Pour tout $x\geqslant -1$: \begin{align*} &\frac 1 {x+1} + \frac 2 {x+2} -\frac 3 {x+3}& \\ &=\frac{1(x+2)(x+3) + 2(x+1)(x+3) - 3(x+1)(x+2)}{(x+1)(x+2)(x+3)}& \\ &=\frac{(x^2+5x+6) + 2(x^2 + 4x + 3) - 3(x^2 + 3x + 2)}{(x+1)(x+2)(x+3)}& \\ &=\frac{x^2+5x+6+2x^2+8x+6-3x^2-9x-6}{(x+1)(x+2)(x+3)}& \\ &=\frac{4x+6}{(x+1)(x+2)(x+3)}& \\ &=f(x).& \end{align*}

b. Donc : \begin{align*} &\int_0^2 f(x)\mathrm dx& \\ &=\int_0^2 \left(\frac 1 {x+1} + \frac 2 {x+2} - \frac 3 {x+3}\right)\mathrm dx& \\ &=\big[\ln(x+1) + 2\ln(x+2) - 3\ln(x+3)\big]_0^2& \\ &=\ln(3)+2\ln(4)-3\ln(5)-\ln(1)-2\ln(2) + 3\ln(3)& \\ &=4\ln(3) + 2\times 2\ln(2) - 3\ln(5) -2\ln(2)& \\ &=4\ln(3)+2\ln(2) - 3\ln(5).& \end{align*}

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