Corrigé du 81 P. 384

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Pour tout réel $x$: \[f(x) = \frac{3x}{x^2+1} = \frac{\frac32\cdot 2x}{x^2+1} = \frac32 \cdot\frac{2x}{x^2+1} = \frac32\cdot\frac{u'(x)}{u(x)}.\] Où $u$ est une fonction dérivable et strictement positive sur $\mathbb R$.

Les primitives de $f$ sont donc les fonctions $F_k$ définies sur $\mathbb R$ par \[F_k(x) = \frac 32 \ln\left(u(x)\right) +k = \frac 32\ln(x^2+1) + k.\] La primitive cherchée vérifie de plus: \[\begin{aligned} F_k(3) &= 0& \\ \iff \frac 32\ln(3^2+1) + k &= 0& \\ \iff k &= -\frac32\ln(10).& \end{aligned}\] C'est donc la fonction définie sur $\mathbb R$ par \[F_{-\frac32\ln(10)} = \frac32\ln(x^2 + 1) - \frac32\ln(10).\]

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