Corrigé du 79 P. 384

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a. Si l'on pose \[u(x) = x^2 - 1 \implies u'(x) = 2x\] alors \[x\mapsto 6x(x^2-1)^2 = 3\times 2x(x^2-1)^2 = 3\times u'(x)\left(u(x)\right)^2.\] Cette fonction admet donc pour primitive sur $\mathbb R$: \[x\mapsto 3 \times \frac{\left(u(x)\right)^3}3 = (x^2-1)^3.\] Donc: \begin{align*} \int_0^1 -x(x^2-1)^2\mathrm dx &= \big[(x^2-1)^3\big]_0^1& \\ &=(1^2-1)^3 - (0^2-1)^3& \\ &= 0 -(-1)& \\ &= 1.& \end{align*}

b. On a \[ t\mapsto \frac{\ln(t)}{2t} = \frac 1 2 \times \frac 1 t \times \ln(t) = \frac 1 2 u'(t)\left(u(t)\right)^1 \] avec $u(t) = \ln(t)$. \\ Donc cette fonction admet pour primitive sur $]0;+\infty[$: \[ t\mapsto \frac 1 2 \frac{\left(u(t)\right)^2} 2 = \frac 1 4 \left(\ln(t)\right)^2. \] Donc \begin{align*} \int_1^{\mathrm e^2} \frac{\ln(t)}{2t}\mathrm dt &=\left[\frac 1 4\left(\ln(t)\right)^2\right]_1^{\mathrm e^2}& \\ &=\frac 1 4\left(\ln(\mathrm e^2)\right)^2 - \frac 1 4 \left(\ln(1)\right)^2& \\ &=\frac 1 4 \times 2^2 - 0& \\ &= 1.& \end{align*} Vérification à l'aide de la calculatrice:

c. De: \[ \frac{4x}{\sqrt{x^2+1}} = 2\times \frac{2x}{\sqrt{x^2+1}} = 2\times \frac{u'(x)}{\sqrt{u(x)}}. \] On déduit que la fonction \[x\mapsto \frac{4x}{\sqrt{x^2+1}}\] admet pour primitive sur $\mathbb R$ la fonction \[x\mapsto 2\times 2\sqrt{u(x)} = 4\sqrt{x^2+1}.\] Donc: \[\begin{aligned} \int_0^2 \frac{4x}{\sqrt{x^2+1}}\mathrm dx &=\Big[4\sqrt{x^2+1}\Big]_0^2& \\ &=4\sqrt{2^2+1} - 4\sqrt{0^2+1}& \\ &=4\sqrt 5 - 4.& \end{aligned}\]

d. De : \[x\mapsto \sin(x)\mathrm e^{\cos(x)} = -(-\sin(x))\mathrm e^{\cos(x)} = -u'(x)\mathrm e^{u(x)}.\] On déduit qu'une primitive sur $\mathbb R$ de cette fonction est \[x\mapsto -\mathrm e^{u(x)} = -\mathrm e^{\cos(x)}.\] Donc: \begin{align*} \int_0^{\frac{\pi}2}\sin(x)\mathrm e^{\cos(x)}\mathrm dx &=\big[-\mathrm e^{\cos(x)}\big]_0^{\frac{\pi}2}& \\ &=-\mathrm e^{\cos\left(\frac{\pi}2\right)} + \mathrm e^{\cos(0)}& \\ &=-\mathrm e^0 + \mathrm e^1& \\ &=\mathrm e - 1.& \end{align*}

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