Corrigé du 78 P. 384

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a. Puisque \[x\mapsto \frac 1 {3x+2} = \frac 1 3 \times \frac{3}{3x+2} = \frac 1 3 \times \frac{u'(x)}{u(x)}\] on déduit que cette fonction admet pour primitive sur $\left]-\frac 2 3;+\infty\right[$ \[x\mapsto \frac 1 3 \ln\left(u(x)\right) = \frac 1 3\ln(3x+2).\] Donc: \[\begin{aligned} \int_0^1 \frac{\mathrm dx}{3x+2} &=\left[\frac 1 3 \ln(3x+2)\right]_0^1 =\frac 1 3\ln(5) - \frac 1 3 \ln(2)& \\ &=\frac 1 3\ln\left(\frac 5 2\right).& \end{aligned}\]

b. Pour tout réel $x$ de $\left[-\dfrac 2 3;+\infty\right[$: \[\sqrt{3x+2} = (3x+2)^{\frac 1 2} = \frac 1 3 \times 3 \left(3x+2\right)^{\frac 1 2} = \frac 1 3 u'(x)\left(u(x)\right)^{\frac 1 2}\] en posant $u(x) = 3x + 2$. Donc cette fonction admet une primitive sur $\left]-\dfrac 2 3;+\infty\right[$ de la forme \begin{align*} x\mapsto &\frac 1 3 \times \frac{\left(u(x)\right)^{1+\frac 1 2}}{1+\frac 1 2}& \\ &=\frac 1 3 \times \frac{\left(3x+2\right)^1 \times \left(3x + 2\right)^{\frac 1 2}}{\frac 3 2}& \\ &=\frac 1 3 \times \frac 2 3 \left(3x + 2\right)\sqrt{3x+2}& \\ &=\frac 2 9\left(3x+2\right)\sqrt{3x+2}.& \end{align*} Donc: \begin{align*} &\int_0^2 \sqrt{3x+2}\mathrm dx& \\ &=\left[\frac 2 9(3x+2)\sqrt{3x+2}\right]_0^2& \\ &=\frac 2 9(3\times 2 + 2)\sqrt{3\times 2 + 2} - \frac 2 9(3\times 0 + 2)\sqrt{3\times 0 + 2}& \\ &=\frac 2 9 \times 8\sqrt 8 - \frac 2 9 \times 2 \sqrt 2& \\ &=\frac{16}9\times 2\sqrt 2 - \frac 4 9 \sqrt{2}& \\ &=\frac{32}9\sqrt 2 - \frac 4 9 \sqrt{2}& \\ &=\frac{28}9\sqrt 2.& \end{align*}

c. De: \[x\mapsto \frac{\mathrm e^x}{2\mathrm e^x + 1} = \frac 1 2 \times \frac{2\mathrm e^x}{2\mathrm e^x + 1} = \frac 1 2 \times \frac{u'(x)}{u(x)}\] on déduit que cette fonction admet pour primitive sur $\mathbb R$: \[x\mapsto \frac 1 2 \ln\left(u(x)\right) = \frac 1 2 \ln(2\mathrm e^x + 1).\] Donc: \begin{align*} \int_0^{\ln(3)} \frac{\mathrm e^x}{2\mathrm e^x + 1}\mathrm dx &=\left[\frac 1 2 \ln(2\mathrm e^x + 1)\right]_0^{\ln(3)}& \\ &=\frac 1 2 \ln(2\mathrm e^{\ln(3)} + 1) - \frac 1 2 \ln(2\mathrm e^0 + 1)& \\ &=\frac 1 2 \ln(2\times 3 + 1) - \frac 1 2 \ln(2\times 1 + 1)& \\ &=\frac 1 2\ln(7) - \frac 1 2 \ln(3)& \\ &=\frac 1 2 \ln\left(\frac 7 3\right).& \end{align*}

d. De: \[t\mapsto t\mathrm e^{-t^2} = -\frac 1 2 \times (-2t)\mathrm e^{-t^2} = -\frac 1 2 u'(t)\mathrm e^{u(t)}\] on déduit que cette fonction admet pour primitive sur $\mathbb R$ la fonction \[t\mapsto -\frac 1 2 \mathrm e^{u(t)} = -\frac 1 2 \mathrm e^{-t^2}.\] Alors: \[\begin{aligned} \int_1^2 t\mathrm e^{-t^2}\mathrm dt &=\left[-\frac 1 2\mathrm e^{-t^2}\right]_1^2& \\ &=-\frac 1 2 \mathrm e^{-4}+\frac 1 2 \mathrm e^{-1}& \\ &=\frac 1 2 \left(\mathrm e^{-1} - \mathrm e^{-4}\right).& \end{aligned}\]

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