Corrigé du 59 P. 382

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a.

b. Sur $[-2;0[$ et $[0;3]$ $f$ est affine donc continue.
$f$ est-elle aussi continue en $0$? \begin{align*} f(0) &= -\dfrac 2 3 \times 0 + 2 = 0\;;& \lim_{x\to 0^-} f(x) &= \lim_{x\to 0^-} x +2 = 2.& \end{align*} Puisque $\displaystyle\lim_{x\to0} f(x) = f(0)$, $f$ est aussi continue en $0$. Donc $f$ est continue sur $[-2;3]$.

Quand $x\in[-2;0[$: \[x\geqslant -2 \implies x + 2 \geqslant -2 + 2 \implies f(x) \geqslant 0.\] Quand $x\in[0;3]$: \[\begin{aligned} &x \leqslant 3& \\ \implies &-\frac 2 3 x \geqslant -\frac 2 3 \times 3& \\ \implies &-\frac 2 3 x +2 \geqslant -2 + 2& \\ \implies &f(x) \geqslant 0.& \end{aligned}\] Donc $f$ est bien positive sur $[-2;3]$.

c. On en déduit que l'intégrale demandée est l'aire du triangle ABC: \[\int_{-2}^3 f(x)\mathrm dx = \frac{\mathrm{AC}\times\mathrm{BO}} 2 = \frac{5\times 2} 2 = 5.\]

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