Corrigé du 72 P. 138

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D'après les représentations paramétriques, $\vec u(-3;1;2)$ est un vecteur directeur de $(d)$ tandis que $\vec v(2;4;3)$ est un vecteur directeur de $(d')$.

S'il existe un réel $k$ tel que $\vec v = k\vec u$, alors l'examen des ordonnées donne $k = 4$ tandis que l'examen des abscisses donne $k = -\frac 2 3$. Donc un tel réel n'existe pas et les vecteur $\vec u$ et $\vec v$ ne sont donc pas colinéaires. Il s'en suit que les droites $(d)$ et $(d')$ ne sont pas parallèles.

Si $(d)$ et $(d')$ était sécantes, il existerait un point d'intersection $I(x_I;y_I,z_I)$ dont les coordonnées vérifient les deux représentations paramétriques: \[\begin{cases} x_I = 4 - 3t = -12 + 2t'\\ y_I = -3 + t = 4t'\\ z_I = 1 + 2t = 9 + 3t' \end{cases} \implies \begin{cases} 4 - 3t = -12 + 2t'\\-3+t = 4t'\\1+2t = 9 + 3t' \end{cases} \] Cherchons à résoudre ce système (notation: S pour substitution, * pour l'équation servant à la substitution). \begin{align*} &\begin{cases} 4 - 3t = -12 + 2t'\\-3+t = 4t'\\1+2t = 9 + 3t' \end{cases}& \\ \iff &\begin{cases} 3 - 3(4t'-3) = -12 + 2t'\ \text S\\ t = 4t' - 3\ * 1 + 2(4t'-3) = 9 + 3t'\ \text S \end{cases}& \\ \iff &\begin{cases} 4 - 12t'+9 = -12 + 2t'\\ t = 4t' - 3\\ 1+8t' - 6 = 9 + 3t' \end{cases}& \\ \iff &\begin{cases} -14t' = -25\\ t=4t'-3\\ 11t' = 16 \end{cases}& \\ \iff &\begin{cases} \boxed{t'=\frac{25}{14}}\\ t = 4t' - 3\\ \boxed{t' = \dfrac{16}{11}} \end{cases} \quad\text{impossible !}& \end{align*} Donc les droites $(d)$ et $(d')$ ne sont ni parallèles, ni sécantes. Elles sont donc bien non coplanaires.

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