Corrigé du 71 P. 138

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a. D'après les représentations paramétriques, $\vec u(-2;4;-5)$ et $\vec u'(1;3;-6)$ sont respectivement vecteurs directeurs de $(d)$ et de $(d')$.

Or \[\vec u' = k\vec u \iff \begin{cases} 1 = -2k\\3 = 4k\\-6 = 5k\end{cases} \iff \begin{cases}k = -\frac 1 2\\k=\frac 3 4\\k=-\frac 6 5\end{cases} \text{impossible} \] Donc $\vec u$ et $\vec u'$ ne sont pas colinéaires, ce qui implique que $(d)$ et $(d')$ ne sont pas parallèles.

b. Résolution du système ($S$ signifie «substitution» (remplacement) et * indique l'équation servant à réaliser la substitution). \begin{align*} & \begin{cases} -1-2t = 7 + t'\\4+4t = 8 + 3t'\\-4-5t = -18 - 6t'& \end{cases} \\ \iff &\begin{cases} t'=-8-2t\ *\\4+4t = 8 + 3(-8-2t)\ S\\-4-5t = -18 - 6(-8 - 2t)\ S \end{cases}& \\ \iff &\begin{cases} t' = -8 - 2t\\4+4t = 8 - 24 - 6t\\-4-5t = -18 + 48 + 12t \end{cases}& \\ \iff &\begin{cases} t' = -8 - 2t\\ 10t = -20\\-17t = 34 \end{cases}& \\ \iff &\begin{cases} t' = -8 - 2\times (-2) = -4\ S \\t = -2\ *\\t=-2\ * \end{cases}.& \end{align*} On en déduit qu'il existe un et un seul point $I$ qui soit commun aux droites $(d)$ et $(d')$, correspondant à $t = -2$ dans la représentation paramétrique de $(d)$ ou à $t = -4$ dans la représentation paramétrique de $(d')$.
Ses coordonnées sont donc \[\begin{cases}x_I = -1-2\times (-2) = 3\\ y_I = 4 + 4\times (-2) = -4\\ z_I = -4 - 5\times (-2) = 6 \end{cases}\] ou encore \[ \begin{cases} x_I = 7 + (-4) = 3\\y_I = 8 + 3\times (-4) = -4\\z_I = -18 -6\times (-4) = 6 \end{cases}. \] Donc les droites $(d)$ et $(d')$ sont sécantes en $I(3;-4;6)$.

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